对《度量空间笔记整理及教材不严谨之处分析》一文的再分析
引
度量空间笔记整理及教材不严谨之处分析 （以下简称为【前文】）里指出 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）存在一处不严谨的地方，实际上该处没有问题，是严谨的. 对【前文】里的错误解读，本文逐一予以纠正.
定义2：领域、极限点、内点、开、闭等
设 X 是一个度量空间，以下定义中提到的点和集合均为 X 的元素和子集.
(a) 点 p 的邻域（neighborhood）是一个集合： Nr(p) = {q | d(p, q) < r}，其中 r 是一个正实数，称作该邻域的半径.
(b) E 是一个集合，若点 p 的任意一个领域中都存在点 q 满足 q ∈ E，且 q ≠ p，则称点 p 为集合 E 的极限点（limit point）.
(c) 若 p ∈ E，且 p 不是 E 的极限点，则称点 p 为集合 E 的孤立点（isolated point）.
(d) 若 E 的每一个极限点 p 都满足 p ∈ E，则称 E 是闭的（closed）.
(e) 若点 p 的邻域 N 满足 N ⊂ E，则称点 p 为集合 E 的内点（interior point）.
(f) 若任一属于 E 的点都是 E 的内点，则称 E 是开的（open）.
(g) E 的补集（complement）是一个集合： Ec = {p | p ∉ E, p ∈ X}.
(h) 若 E 是闭的，且任一属于 E 的 点都是 E 的极限点，则称 E 是完备的（perfect）.
(i) 若有实数 M 和点 p ∈ X，使得对任意点 q ∈ E 都满足 d(p, q) < M，则称 E 是有界的（bounded）.
(j) 若任一属于 X 的点，要么是 E 的极限点，要么是属于 E 的点（或两者都是），则称 E 在 X 中是稠密的（dense）.
错误解读起源分析
错误解读的起源就在定义 2 部分，先看如下的解读内容：
这个声明（设 X 是一个度量空间，以下定义中提到的点和集合均为 X 的元素和子集. 以下简称为【声明】）中没有对 X 作限定，只是笼统地称 X 是一个度量空间. 如果取一些特定的子集为 X，随后的定义和定理会得到非常荒谬的结论. 例如，取 R2 的子集 {(x, x) | x ∈ R} 为 X，即 X 为直线 y = x 上的全体点集，任取原点的一个邻域 N，这时无法保证 N 是 X 的子集；当然我们可以说 N 的定义独立于 X，不要求满足 N ⊂ X.
这段解读里，对领域的定义理解是不对的. 就以所给的例子而言，取 R2 的子集 {(x, x) | x ∈ R} 为 X，即 X 为直线 y = x 上的全体点集，任取原点的一个邻域 N，这时无法保证 N 是 X 的子集. 这里实际上把原点的邻域 N 理解成以原点为圆心 r 为半径的不含边界的圆，无论 r 取多小的正实数，确实无法保证 N ⊂ X. 但上文中邻域的定义是：
(a) 点 p 的邻域（neighborhood）是一个集合： Nr(p) = {q | d(p, q) < r}，其中 r 是一个正实数，称作该邻域的半径.
再由【声明】可知，Nr(p) 中任意一点 q 都满足 q ∈ X，显然有 Nr(p) ⊂ X.
由对邻域这一定义的误解起，随后就牵连出了一连串的误解.
再看如下的解读内容：
再看一个例子，令 X = {p, q, s, t}，E = {p, q}，即 X 仅由 4 个孤立点组成，E 仅由其中的两个孤立点组成，于是 Ec = {s, t}，E 和 Ec 按定义都是闭集，而由 定理：度量空间 E 是开的当且仅当 Ec 是闭的 却会得出E 和 Ec 都是开集，但这显然与开集的定义相矛盾.
这段解读所举的例子里，E 和 Ec 都是闭集，而且也都是开集，这与开集的定义并不矛盾. 结合内点和开集的定义具体来看一下：
(e) 若点 p 的邻域 N 满足 N ⊂ E，则称点 p 为集合 E 的内点（interior point）.
(f) 若任一属于 E 的点都是 E 的内点，则称 E 是开的（open）.
X = {p, q, s, t}，E = {p, q}，由邻域的定义可知，当 r 的取值足够小，即满足 r ≤ min{d(p, q), d(p, r), d(p, s)} 时，Nr(p) = {p} ⊂ E，即 p 是 E 的内点. 同样可知 q 是 E 的内点，于是 E 是开集. 同样可知，Ec 也是开集.
为清晰起见，以下对上文中的定义逐一做新的理解和分析.
新的理解与分析
邻域
定义：(a) 点 p 的邻域（neighborhood）是一个集合： Nr(p) = {q | d(p, q) < r}，其中 r 是一个正实数，称作该邻域的半径.
Nr(p) 并不能保证其包含的点是连续的（比如取 X = Q），也不能保证包含有无数个点（比如上面的例子），特别地，当 X = {p} 时，无论半径取多大，总有 Nr(p) = {p}.
极限点
定义：(b) E 是一个集合，若点 p 的任意一个领域中都存在点 q 满足 q ∈ E，且 q ≠ p，则称点 p 为集合 E 的极限点（limit point）.
【前文】的以下理解没有问题：
E 的极限点 p 实际上就是指 E 中存在其它的无限趋近点 p 的点，而点 p 可以属于 E，也可以不属于 E. 由此也很好理解：有限点集合一定没有极限点.
以 X = R，E = Q 为例，由极限点的定义可知，任意一个实数 p 都是有理数集 E 的极限点.
孤立点
定义：(c) 若 p ∈ E，且 p 不是 E 的极限点，则称点 p 为集合 E 的孤立点（isolated point）.
【前文】的以下直接定义没有问题：
若点 p 的某个邻域 N 满足 N ∩ E = {p}，则称点 p 为 E 的孤立点.
内点
定义：(e) 若点 p 的邻域 N 满足 N ⊂ E，则称点 p 为集合 E 的内点（interior point）.
【前文】的以下理解是错误的：
E 的内点显然也是 E 的极限点.
上面的分析已经表明孤立点也可以是内点，因此说 E 的内点一定是 E 的极限点是不对的. 但孤立点构成内点是有条件的，即：
若点 p 是 E 的孤立点，则 p 是 E 的相对于 X 的内点当且仅当 p 是 X 的孤立点.
E 的内点判别，和所基于的度量空间 X 紧密相关. 如 E = Q，X = R，上面的分析已经指出任意实数都是 E 的极限点，但由内点定义可知，任何有理数都不是 E 的内点，即 E 没有内点.
再如 E = Q+，X = Q，则由定义可知，E 的全体内点的集合即为 Q+，而 E 的全体极限点的集合为 Q+ ∪ {0}.
再看一组对照的例子：
若 E = Z+，X = Z，则 E 的全体孤立点集合为 Z+，E 的全体内点集合也为 Z+，E 没有极限点.
若 E = Z+，X = Q，则 E 的全体孤立点集合为 Z+，E 没有内点，也没有极限点.
补集、闭集与开集
定义：(g) E 的补集（complement）是一个集合： Ec = {p | p ∉ E, p ∈ X}.
定义：(d) 若 E 的每一个极限点 p 都满足 p ∈ E，则称 E 是闭的（closed）.
定义：(f) 若任一属于 E 的点都是 E 的内点，则称 E 是开的（open）.
对任意度量空间 X，若取 E = X，由定义可知，E 既是开集又是闭集. 以 E = X = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...} 为例，X 由无限个孤立点组成，尽管这些点无限趋近于 0 点，但 0 ∉ X，0 点就不是 E 的极限点，即 E 没有极限点，也被称为闭集.
同样，对任意度量空间 X，若取 E = Xc，即 E 为空集，则 E 既是开集又是闭集. 这样约定也符合定理：度量空间 E 是开的当且仅当 Ec 是闭的.
若 E 仅由有限个孤立点组成，则 E 相对于任意满足 E ⊂ X 的度量空间 X 都是闭集.
边界点
【前文】引入了边界点的概念：
若点 p 是 E 的孤立点，或点 p 是 E 的极限点且不是 E 的内点，则称点 p 为 E 的边界点.
并在此基础上，给出边界点和内点存在类似于孤立点和极限点那样的对立关系. E 的孤立点一定不是 E 的极限点，E 的极限点也一定不是 E 的孤立点. 这种对立关系是由定义所保障的，E 的孤立点（或极限点）p 是相对于 X 比较独立的概念，只要求 p ∈ X. 而 E 的内点则对 X 的选择依赖较大，比如如上面所述，若 E 的孤立点 p 也是 X 的孤立点，则 p 是 E 的内点. 这时，p 既是 E 的内点，又是 E 的边界点，即不具有孤立点和极限点那样的对立关系.
【前文】给出的如下结论也是不对的：
对 X 的任意子集 E，记 E 的全体边界点的集合为 bound(E)，则有 bound(E) = bound(Ec).
比如，取 X = {p, q, s, t}，E = {p, q}，由上述边界点的定义可知，bound(E) = {p, q}，bound(Ec) = {s, t}，bound(E) ≠ bound(Ec).
完备
定义：(h) 若 E 是闭的，且任一属于 E 的点都是 E 的极限点，则称 E 是完备的（perfect）.
【前文】里相关解读如下：
由前述定义以及上面的分析可知，E 是完备的实际上是指 E 是闭集且 E 不含有孤立点，因而也就不会包含离散极限点. 也就是说，E 是闭集且包含的点全是连续极限点.
严格来说，这里的离散极限点和连续极限点是相对 X 而言的，不是绝对意义上的离散和连续. 例如，取 E = Q+ ∪ {0}，X = Q，则 E 相对于 X 是完备的，E 包含全体正有理数和 0，相对实数域而言，E 中每个点都是离散的，不是连续的.
稠密
定义：(j) 若任一属于 X 的点，要么是 E 的极限点，要么是属于 E 的点（或两者都是），则称 E 在 X 中是稠密的（dense）.
【前文】里给的相关例子是合理的，唯一存疑之处在于：
依次类推，挖中线的操作可以无限次地进行，剩余的点集保持稠密性不变，分出来的小三角形的总面体也总等于三角形 ABC 的面积.
就是说，这么无限次地挖下去，E 中的点会不会被挖光？在 X = R2 的范畴而言，应该是可以无限挖下去而能保持稠密性不变的.
最后，给一个可以挖光的例子：
取 E = Q+，X = Q+ ∪ {0}，由定义可知，E 在 X 中是稠密的. E 中元素 p 都可以写成 p = a/b 的形式，a, b ∈ Z+，且 gcd(a, b) = 1，从 E 中挖去所有 a = 1 的点，剩余的点集保持稠密性不变；再挖去所有 a = 2 的点，剩余的点集保持稠密性不变；...；这么无限次挖下去，任意一个既约分数 u/v 都会（在第 u 次）被挖去.
