证明：n 次交代群为单群当且仅当 n ≠ 4

对称群、交代群与单群的定义

由 1, 2, ..., n 这 n 个数字的全体置换构成的群称作 n 次对称群，记为 S_n. 

S_n 的全体偶置换称作 n 次交代群，记为 A_n.

若群 G 除了 G 自身以及仅由 G 的单位元 e 构成的 {e} 之外，不含任何其它的正规子群，则称 G 为单群.

k 循环是一种特殊的置换，即 (a₁→a₂, a₂→a₃, ..., a_k-1→a_k, a_k→a₁)，简记为 (a₁ a₂ ... a_k).

S_n 的单位元为恒等置换，可以表示为 n 个 1 循环的乘积，即 (1)(2)...(n)，简记为 e.

n = 1, 2, 3 的情形

S₁ = {e}，e 为偶置换，所以 A₁ = S₁ = {e}.

S₂ = {e, (1 2)}，A₂ = {e}.

由单群定义易知，S₁，A₁，S₂，A₂ 都是单群.

S₃ = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}，A₃ = {e, (1 2 3), (1 3 2)}.

A₃ 是 3 阶群，即素数阶群，没有真子群，所以 A₃ 是单群.

顺便考察一下 S₃ 是否为单群. [S₃ : A₃] = |S₃| / |A₃| = 6 / 3 = 2，即 A₃ 是 S₃ 的指数为 2 的子群，于是 A₃ 是 S₃ 的正规子群，因此 S₃ 不是单群. 

n = 4 的情形

A₄ 有 12 个元，按对称类划分分别是：

[1] 类：e

[22] 类：(1 2)(3 4)，(1 3)(2 4)，(1 4)(2 3)

[3] 类：(1 2 3)，(1 2 4)，(1 3 2)，(1 3 4)，(1 4 2)，(1 4 3)，(2 3 4)，(2 4 3)

考察 V = {e, x = (1 2)(3 4), y = (1 3)(2 4), z = (1 4)(2 3)}：

x·x = e；x·y = y·x = z

结合对称性可知，V 是 A₄ 的子群，且 V 是交换群. 取 a = (1 2 3) ∈ A₄，由

(1 2 3)·(1 2)(3 4) = (1 3 4)

(1 2 3)·(1 3)(2 4) = (2 4 3)

(1 2 3)·(1 4)(2 3) = (1 4 2)

和

(1 2)(3 4)·(1 2 3) = (2 4 3)

(1 3)(2 4)·(1 2 3) = (1 4 2)

(1 4)(2 3)·(1 2 3) = (1 3 4)

可知 ，a·V = V·a.

取 b = (1 3 2) ∈ A₄，同样会有，b·V = V·b. 且容易验证 A₄ = V ∪ aV ∪ bV.

因此，V 是 A₄ 的正规子群，因此 A₄ 不是单群. (就 V 而言，V 显然也不是单群)

n = 5 的情形

 设 H 是 A₅ 的一个正规子群，且 H ≠ {e}，只要证明 H = A₅，则 A5 是单群. 分以下几个步骤：

1).  对任意 a ∈ A₅，有 aH = Ha，即对任意 h₁ ∈ H，必然存在 h₂ ∈ H，使得 ah₁ = h₂a. 于是

ah₁a^-1 = h₂aa^-1 = h₂，即

ah₁a^-1 ∈ H            ①

由 h₁^-1h₂ ∈ H，又有

h₁^-1ah₁a^-1 ∈ H      ②

2). A5 的元按对称类划分有 [1] 类、[22] 类、[3] 类和 [5] 类. [1] 类元就一个，即单位元 e，显然 e ∈ H.

2-1). 设 H 中有 [22] 类元，记为 h₁ = (a₁ a₂)(a₃ a₄)，即 置换 h₁ 的完整表示为 (a₁→a₂, a₂→a₁, a₃→a₄, a₄→a₃, a₅→a₅)，这里 a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ 是 1, 2, 3, 4, 5 的任意一个排列.

此时易知有 h₁^-1 = h₁. 取 a = (a₁ a₂ a₅)，由 ② 有

h_[22] := h₁^-1ah₁a^-1 =  (a₁ a₂)(a₃ a₄)·(a₁ a₂ a₅)·(a₁ a₂)(a₃ a₄)·(a₅ a₂ a₁)

= (a₁ a₂ a₅)(a₃)(a₄) = (a₁ a₂ a₅) ∈ H

2-2). 设 H 中有 [5] 类元，记为 h₁ = (a₁ a₂ a₃ a₄ a₅) ，取 a = (a₂ a₃ a₄)，由 ② 有

h_[5] := h₁^-1ah₁a^-1 =  (a₅ a₄ a₃ a₂ a₁)·(a₂ a₃ a₄)·(a₁ a₂ a₃ a₄ a₅)·(a₄ a₃ a₂)

= (a₁ a₂ a₄)(a₃)(a₅) = (a₁ a₂ a₄) ∈ H

 综合 2-1) 和 2-2)，结合 H ≠ {e} 可知，H 中一定会有 [3] 类元（即 3 循环）.

3). 假设 (b₁ b₂ b₃)(b₄)(b₅) ∈ H，b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ 是 1, 2, 3, 4, 5 的某个排列. 考察如下的两个置换：

u = (b₁→a₁, b₂→a₂, b₃→a₃, b₄→a₄, b₅→a₅)

v = (b₁→a₁, b₂→a₂, b₃→a₃, b₄→a₅, b₅→a₄)

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ 是 1, 2, 3, 4, 5 的任意一个排列. 显然有 v = (a₄ a₅)·u，u = (a₄ a₅)·v，即 u 和 v 必然是一个奇置换和一个偶置换，若 u 为偶置换，即 u ∈ A₅，则由 ① 有

u·(b₁ b₂ b₃)(b₄)(b₅)·u^-1

= (b₁→a₁, b₂→a₂, b₃→a₃, b₄→a₄, b₅→a₅)·(b₁ b₂ b₃)·(a₁→b₁, a₂→b₂, a₃→b₃, a₄→b₄, a₅→b₅)

= (a₁ a₂ a₃)(a₄)(a₅) = (a₁ a₂ a₃) ∈ H

若 v ∈ A₅，则由 ① 有

v·(b₁ b₂ b₃)(b₄)(b₅)·v^-1

= (b₁→a₁, b₂→a₂, b₃→a₃, b₄→a₅, b₅→a₄)·(b₁ b₂ b₃)·(a₁→b₁, a₂→b₂, a₃→b₃, a₄→b₅, a₅→b₄)

= (a₁ a₂ a₃)(a₄)(a₅) = (a₁ a₂ a₃) ∈ H

综上可知，A₅ 中任意一个 3 循环也是 H 的元.

4). 由定义，A₅ 中的每个元都是偶置换，而偶置换可以表示成偶数个对换的乘积. 从右往左把相邻的对换两两配对，每一对对换只可能有如下三种情形：

I. (c₁ c₂)(c₁ c₂)； II. (c₁ c₃)(c₁ c₂)；III. (c₃ c₄)(c₁ c₂). 其中，c₁, c₂, c₃, c₄ 为 4 个不同数字.

情形 I，(c₁ c₂)(c₁ c₂) = e = (c₁ c₂ c₃)³；

情形 II，(c₁ c₃)(c₁ c₂) = (c₁ c₂ c₃)；

情形 III，(c₃ c₄)(c₁ c₂) = (c₂ c₄ c₃)(c₁ c₃ c₂).

综合三种情形可知，任意一个偶置换都可以表示成若干个 3 循环的乘积，于是 A₅ ⊆ H，而 H ⊆ A₅，因此 H = A₅. 

综上，A₅ 是单群. 

n > 5 的情形

从证明 A₅ 是单群的过程看，步骤 1)，3)，4) 可以原封不动用于 n > 5 的情形，因此关键之处在于步骤 2)，即证明 H 中有 [3] 类元.  上述的步骤 2) 实际上用了穷举法，而 n > 5 的全体偶置换还按对称类精确划分的话，会有无穷个分类，比如 n = 6 就比 n = 5 多出 [24] 类和 [33] 类，n = 7 又比 n = 6 多出 [223] 类，^……. 因此要证明 n > 5 时，A_n 的正规子群 H ≠ {Id} 依然有 3 循环，需要更好的分类方法.

对置换 ε ∈ S_n，引入一个函数 T(ε)，记录 ε 变动的数字个数，显然有 T(e) = 0，若 ε_m 为 m 循环，且 m > 1，则 T(ε_m) = m. 再对置换集合 S 引入一个函数 minT(S) = min{T(ε) | ε ∈ S}，即记录 S 的全体置换中变动数字的个数的最小值.

设 n > 5，H 是 A_n 的一个正规子群，且 H ≠ {e}.  由于 2 循环（即对换）是奇置换，显然有 minT(A_n \ {e}) = 3. 假设 H 中没有 3 循环，即 minT(H \ {e}) > 3，记 k = minT(H \ {e})，分以下几种情形讨论：

I.  k = 4

记 σ ∈ H 满足 T(σ) = 4，用 c₁, c₂, c₃, c₄ 表示 σ 变动的 4 个数字，c₅ 为置换 σ 中某个不变的数字，不妨令 σ(c₁) = c₂，则必有 σ(c₂) = c₁，即 σ = (c₁ c₂)(c₃ c₄)，不然会推出 σ 等于 (c₁ c₂ c₃)、(c₁ c₂ c₄)、(c₁ c₂ c₃ c₄)、(c₁ c₂ c₄ c₃) 之一，即要么是 3 循环要么是奇置换，均不合要求.

令 a = (c₁ c₂ c₅)，显然有 a ∈ A_n，由 ② 有

σ^-1aσa^-1 =  (c₁ c₂)(c₃ c₄)·(c₁ c₂ c₅)·(c₁ c₂)(c₃ c₄)·(c₅ c₂ c₁)

= (c₁ c₂ c₅)(c₃)(c₄) = (c₁ c₂ c₅) ∈ H，这与假设 H 中没有 3 循环矛盾.

II. k > 4

记 σ ∈ H 满足 T(σ) = k，σ 可以为以下几个子情形之一：

II-I. σ = (c₁ c₂ c₃ c₄)(...)...(...) = (c₁ c₂ c₃ c₄)ζ

即 σ 可以表示成若干个独立循环（彼此间没有重复数字）的乘积且其中之一为 4 循环 (c₁ c₂ c₃ c₄). 令 a = (c₂ c₃ c₄)，显然有 a ∈ A_n，由 ① 有

 θ := aσa^-1 = (c₂ c₃ c₄)·(c₁ c₂ c₃ c₄)ζ·(c₄ c₃ c₂) = (c₁ c₃ c₄ c₂)ζ ∈ H

于是

θσ^-1 = (c₁ c₃ c₄ c₂)ζ·ζ^-1 (c₄ c₃ c₂ c₁) = (c₁ c₂ c₃) ∈ H

同样与假设 H 中没有 3 循环矛盾.

也可以对比 σ 和 θ 的组成变化，只有 (c₁ c₂ c₃ c₄) 变成了 (c₁ c₃ c₄ c₂)，而其它的独立循环没有变化，易知

(c₁ c₂ c₃)(c₁ c₂ c₃ c₄)  = (c₁ c₃ c₄ c₂)

于是 (c₁ c₂ c₃)σ = θ，即有 (c₁ c₂ c₃) = θσ^-1 ∈ H

II-II. σ = (c₁ c₂ c₃ c₄ c₅...)(...)...(...) = (c₁ c₂ c₃ c₄ c₅...)ζ

即 σ 可以表示成若干个独立循环的乘积且其中之一为 r 循环 (c₁ c₂ c₃ c₄ c₅...)，r ≥ 5. 令 a = (c₂ c₃ c₄)，显然有 a ∈ A_n，由 ① 有

θ := aσa^-1 = (c₂ c₃ c₄)·(c₁ c₂ c₃ c₄ c₅...)ζ·(c₄ c₃ c₂) = (c₁ c₃ c₄ c₂ c₅...)ζ ∈ H

于是

θσ^-1 = (c₁ c₃ c₄ c₂ c₅...)ζ·ζ^-1(...c₅ c₄ c₃ c₂ c₁) = (c₂ c₃ c₅) ∈ H

同样与假设 H 中没有 3 循环矛盾.

II-III. σ = (c₁ c₂ c₃)(c₄ c₅...)(...)...(...) = (c₁ c₂ c₃)(c₄ c₅...)ζ

即 σ 可以表示成若干个独立循环的乘积且其中有一个 3 循环， 其余的要么是 3 循环要么是 2 循环. 取 a = (c₂ c₃ c₄)，显然有 a ∈ A_n，由 ① 有 

θ := aσa^-1 = (c₂ c₃ c₄)·(c₁ c₂ c₃)(c₄ c₅...)ζ·(c₄ c₃ c₂) = (c₁ c₃ c₄)(c₂ c₅...)ζ ∈ H

于是

θσ^-1 = (c₁ c₃ c₄)(c₂ c₅...)ζ·ζ^-1(...c₅ c₄)(c₃ c₂ c₁) = (c₁ c₄ c₂ c₃ c₅) ∈ H

即 H 中有 5 循环，由 n = 5 的情形的 2-2) 可知 H 中也有 3 循环，同样与假设 H 中没有 3 循环矛盾.

II-IV. σ = (c₁ c₂)(c₃ c₄)(...)...(...) = (c₁ c₂)(c₃ c₄)ζ

即 σ 可以表示成若干个独立 2 循环的乘积，且 σ 是偶置换，所以 σ 一定是偶数（记为 2t）个独立 2 循环的乘积. 事实上，由 k = T(σ) = 4t > 4，可知 t ≥ 2. 取  a = (c₁ c₂ c₃)，显然有 a ∈ A_n，由 ① 有 

θ := aσa^-1 = (c₁ c₂ c₃)·(c₁ c₂)(c₃ c₄)ζ·(c₃ c₂ c₁) = (c₁ c₄)(c₂ c₃)ζ ∈ H

于是

θσ^-1 = (c₁ c₄)(c₂ c₃)ζ·ζ^-1(c₄ c₃)(c₂ c₁) = (c₁ c₃)(c₂ c₄) ∈ H

即 H 中有 [22] 类元，由 n = 5 的情形的 2-1) 可知 H 中也有 3 循环，同样与假设 H 中没有 3 循环矛盾.

综上可知，n > 5 时，A_n 是单群.