代数数集合是域的完整证明

代数数与超越数的定义

记 Q 为有理数集合，C 为复数集合，若 c ∈ C 在 Q 上是代数的，即存在一个非零多项式 f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀，其中 a_i ∈ Q，i = 0,1,...,n，使得 f(c) = 0，则称 c 为代数数，否则称 c 为超越数.

记代数数集合为 A. 由代数数的定义易知 Q ⊆ A. 事实上，对任意 p ∈ Q，令 f(x) = x - p，显然有 f(p) = 0. Q 是最小的数域. 以下开始证明全体代数数的集合构成数域.

单代数扩域是有限扩域

对任意 α ∈ A，由定义可知 α ∈ C，C/Q 是扩域，考虑 C 中所有既包含 Q 又包含 α 的子域，它们的交集是 C 的一个子集，且是包含 Q 和 α 的最小子集，记作 Q(α)，即 Q(α) 是 Q 上添加 α 得到的单代数扩域.

记 α 在 Q 上的最小多项式的次数为 n，即存在首 1 的不可约的 n 次有理系数多项式 f(x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀，使得 f(α) = 0，此时，在 Q 上的向量空间 Q(α) 中，1、α、α²、...、α^n-1 必定是线性无关的（否则与最小多项式次数为 n 矛盾）；且由 f(α) = 0 知 1、α、α²、...、α^n-1、αⁿ 是线性相关的，因此 1、α、α²、...、α^n-1 是 Q(α) 在 Q 上的一个基，且有 [Q(α) : Q] = n. 即 Q(α)/Q 是 n 维有限扩域.

若 α ∈ Q，则 α 在 Q 上的最小多项式即为 x - α，即 n = 1，此时 Q(α) = Q.

有限扩域的传递性：维数公式

同样地，在上面得到的 Q(α) 上可以再添加 β ∈ A，即 C/Q(α) 是扩域，考虑 C 中所有既包含 Q(α) 又包含 β 的子域，它们的交集是 C 的一个子集，且是包含 Q(α) 和 β 的最小子集，记作 Q(α)(β)，即 Q(α)(β) 是 Q(α) 上添加 β 得到的单代数扩域.

记 β 在 Q(α) 上的最小多项式的次数为 m，即存在首 1 的不可约的 m 次多项式 g(x) = x^m + b_m-1x^m-1 + ... + b₁x + b₀，bi ∈ Q(α)，i = 0,1,...,m-1，使得 g(β) = 0，此时，在 Q(α) 上的向量空间 Q(α)(β) 中，1、β、β²、...、β^m-1 必定是线性无关的（否则与最小多项式次数为 m 矛盾）；且由 g(β) = 0 知 1、β、β²、...、β^m-1、β^m 是线性相关的，因此 1、β、β²、...、β^m-1 是 Q(α)(β) 在 Q(α) 上的一个基，且有 [Q(α)(β) : Q(α)] = m. 即 Q(α)(β)/Q(α) 是 m 维有限扩域.

若 β ∈ Q(α)，则 β 在 Q(α) 上的最小多项式即为 x - β，即 m = 1，此时 Q(α)(β) = Q(α).

由扩域的定义可知，Q(α) 是 Q 上的 n 维向量空间，Q(α)(β) 又是 Q(α) 上的 m 维向量空间，不难理解 Q(α)(β) 是 Q 上的 mn 维向量空间，αⁱβ^j，i = 0,1,...,n-1，j = 0,1,...,m-1，是 Q(α)(β) 在 Q 上的一个基. 即Q(α)(β)/Q 是 mn 维有限扩域，且有 [Q(α)(β) : Q] = [Q(α)(β) : Q(α)]·[Q(α) : Q] = mn.

有限扩域是代数扩域

代数扩域的定义：E/F 是扩域，如果 E 中的每一个元在 F 上都是代数的，则称 E 是 F 的一个代数扩域.

设 E/F 是一个 n 维有限扩域，即有 [E : F] = n. 此时对任意 α ∈ E，n+1 个向量 1、α、α²、...、α^n-1、αⁿ 必定是线性相关的（否则与向量空间的维数为 n 矛盾），即存在不全为零的 a_i，i = 0,1,...,n，使得 a₀ + a₁α + a₂α² + ... + a_nαⁿ = 0，令 f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ，f(x) 是 F 上的非零多项式，且有 f(α) = 0，因此 α 在 F 上是代数的. 即有限扩域是代数扩域.