对 (αβ) ○ f = α ○ (β ○ f) 的一个错误证法的分析

定义：设 π ∈ S_n，f 是 n 个自变量的函数. 令 

(π ○ f)(x₁, x₂, ..., x_n) = f(x_π(1), x_π(2), ..., x_π(n))      ①

并称函数 g = π ○ f 是由 π 作用在 f 上得到的.

定理：若 α, β ∈ S_n，则 (αβ) ○ f = α ○ (β ○ f).

证明：

1). 由定义的 ① 式有：

((αβ) ○ f)(x₁, x₂, ..., x_n) = f(x_αβ(1), x_αβ(2), ..., x_αβ(n))

2). 同样，有：

(β ○ f)(x₁, x₂, ..., x_n) = f(x_β(1), x_β(2), ..., x_β(n))

3). 于是：

(α ○ (β ○ f))(x₁, x₂, ..., x_n)

= (α ○ f)(x_β(1), x_β(2), ..., x_β(n))

= f(x_α(β(1)), x_α(β(2)), ..., x_α(β(n)))

= f(x_αβ(1), x_αβ(2), ..., x_αβ(n))

结合 1) 和 3)，命题得证.

这个证法似乎简单而直观，但实际上是有问题的. 问题出在：

(α ○ (β ○ f))(x₁, x₂, ..., x_n) = (α ○ f)(x_β(1), x_β(2), ..., x_β(n))       ②

以及

α ○ f(x_β(1), x_β(2), ..., x_β(n)) = f(x_α(β(1)), x_α(β(2)), ..., x_α(β(n)))    ③

用一个具体例子来说明一下：

令 n = 3，α = (1 2 3)，β = (1 3)，f(u, v, w) = u + v² + w³.

排列 1,2,3 经置换 β 变换为排列 3,2,1，再经置换 α 变换为排列 1,3,2，由此可知

αβ = (2 3). 于是

((αβ) ○ f)(u, v, w) = f(u, w, v) = u + w² + v³

(α ○ (β ○ f))(u, v, w) = (β ○ f)(v, w, u) = f(u, w, v) = u + w² + v³

与命题结论相符.

在这个例子中，② 式即为：

(α ○ (β ○ f))(u, v, w) = (α ○ f)(w, v, u)

而由定义，(α ○ f)(w, v, u) = f(v, u, w) = v + u² + w³ ≠ u + w² + v³

这说明 ② 式是不成立的，② 式的问题实际上是混淆了符号 ○ 和映射复合符号 ·，只有后者才有 (f·g)(x) = f(g(x)).

对照这个例子再来看③ 式，其左端为 α ○ f(x_β(1), x_β(2), x_β(3))，因为 β(1) = 3, β(2) = 2, β(3) = 1，所以 ③ 式左端即为：

α ○ f(x_β(1), x_β(2), x_β(3)) = α ○ f(x₃, x₂, x₁) = α ○ f(w, v, u)

③ 式右端为 f(x_α(β(1)), x_α(β(2)), x_α(β(3)))，因为 (αβ)(1) = 1, (αβ)(2) = 3, (αβ)(3) = 2，所以 ③ 式右端即为：

f(x₁, x₃, x₂) = f(u, w, v)

由于 α ○ f(w, v, u) = f(v, u, w) ≠ f(u, w, v)，③ 式显然也不成立. ③ 式的问题实质上是误解了 ① 式里的定义.