矩阵单位与初等矩阵笔记

矩阵单位 E_s,t

在一个方阵中，第 s 行与第 t 列的交叉位置的元素为 1，且所有其它位置的元素均为 0，这个矩阵叫做矩阵单位，并记为 E_s,t. 显然，n 阶单位矩阵 E 满足：

E = E_1,1 + E_2,2 + ... + E_n,n

E_s,tA

A 是 m×n 矩阵，E_s,t 是 m×m 矩阵，则 E_s,tA = 

      0 0 ... 0 ... 0 ... 0     a₁₁  a₁₂  ... a_1t ...  a_1n
      ... ...                        ... ...
(s)  0 0 ... 0 ... 1 ... 0  ·  a_s1  a_s2  ...  a_st ... a_sn
       ... ...                        ... ...
(m) 0 0 ... 0 ... 0 ... 0     a_m1 a_m2  ... a_mt ... a_mn
                        (t)   (m)

 = 

      0    0 ...    0  ...  0
      ... ...                   
(s)  a_t1 a_t2 ... a_tt ... a_tn
      ... ...                   
(m) 0    0 ...    0  ...  0
                       (t)

 由上可知，A 左乘 E_s,t 的结果在效果上就相当于把 A 的第 t 行放到第 s 行，然后对其余行都作置 0 处理.  

当 s = t 时，E_s,sA 的结果相当于 A 中第 s 行保持不变，而把其余行都作置 0 处理. 易知

EA = E_1,1A + E_2,2A + ... + E_m,mA = A

AE_s,t

再看右乘的情形，A 是 m×n 矩阵，E_s,t 是 n×n 矩阵，则 AE_s,t = 

a₁₁  a₁₂  ... a_1t ...  a_1n      0 0 ... 0 ... 0 ... 0
... ...                                  ... ...
a_s1  a_s2  ...  a_st ... a_sn   ·   0 0 ... 0 ... 1 ... 0
 ... ...                                 ... ...
a_m1 a_m2  ... a_mt ... a_mn     0 0 ... 0 ... 0 ... 0     
                                                             (t)   (n)

 = 

      0    0 ...    a_1s ... 0
      0    0 ...    a_2s ... 0
      ... ...   

(s)  0    0 ...    a_ss ... 0
      ... ...                   
(m) 0    0 ...    a_sm ... 0
                        (t)      (n)

 由上可知，A 右乘 E_s,t 的结果在效果上就相当于把 A 的第 s 列放到第 t 列，然后对其余列都作置 0 处理.  

当 s = t 时，AE_s,s 的结果相当于 A 中第 s 列保持不变，而把其余列都作置 0 处理. 易知

AE = AE_1,1 + AE_2,2 + ... + AE_n,n = A

满足 UA = AU 的矩阵 A 的特性

全体 n 阶实方阵的集合记作 M_n(R)，利用上面的矩阵单位特性可以证明如下定理：

在 M_n(R) 中，与任意矩阵可交换的矩阵是纯量阵 λE.

证明：假设 A ∈ M_n(R)，对任意 U ∈ M_n(R) 满足 UA = AU.

令 U = E_1,1，则 E_1,1A = AE_1,1 

由上述矩阵单位的特性，有

a₁₁  a₁₂  ... a_1,n-1  a_1n        a₁₁     0 ...  0
0     0     ...  0         0           a₂₁     0 ...  0
... ...                               =   ... ...
0     0     ...   0         0          a_n-1,1 0 ...  0
0     0     ...   0         0          a_n1     0 ...  0

由此可知，A 的第 1 行和第 1 列上的元素，除 a₁₁ 之外，都为 0. 再令 U = E_i,i，i = 2, 3, ..., n，同理可得类似的结论，综合起来便有 A 的元素除对角线上的 a_ii (i = 1, 2, ..., n) 之外，都为 0. 

令 U = E_1,2，则 E_1,2A = AE_1,2 

由上述矩阵单位的特性，有

a₂₁  a₂₂  ... a_2,n-1  a_2n       0  a₁₁     0 ...  0
0     0     ...  0         0           0  a₂₁     0 ...  0
... ...                               =   ... ...
0     0     ...   0         0          0  a_n-1,1 0 ...  0
0     0     ...   0         0          0  a_n1     0 ...  0

由此可知，a₁₁ = a₂₂. 同理可得 a₁₁ = a_ii (i = 3, ..., n)，记 λ = a₁₁，即有 A = λE.

对任意 U ∈ M_n(R)，容易验证 U·(λE) = (λE)·U = λU，证毕.

(I) 型初等矩阵 F_s,t

(I) 型初等矩阵定义：

F_s,t = E - E_s,s - E_t,t + E_s,t + E_t,s，s ≠ t    ①

由定义可知，F_s,t 为方阵；由定义的对称性可知，F_s,t = F_t,s

记 A 为任意 m×n 矩阵，且 F_s,t 为 m 阶方阵，则

F_s,t A = (E - E_s,s - E_t,t + E_s,t + E_t,s)·A = A - E_s,sA - E_t,tA + E_s,tA + E_t,sA

由上述矩阵单位的特性易知，A - E_s,sA - E_t,tA 就是把 A 中的第 s 行和第 t 行作置 0 处理，因此 A - E_s,sA - E_t,tA + E_s,tA + E_t,sA，即 F_s,t A，就是把 A 中的第 s 行和第 t 行作互换处理. 也就是说，矩阵 A 左乘 F_s,t 在效果上就等同于对 A 作一次 (I) 型初等行变换.

记 A 为任意 m×n 矩阵，且 F_s,t 为 n 阶方阵，则

AF_s,t = A·(E - E_s,s - E_t,t + E_s,t + E_t,s) = A - AE_s,s - AE_t,t + AE_s,t + AE_t,s

同理可知，矩阵 A 右乘 F_s,t 在效果上就等同于对 A 作一次 (I) 型初等列变换：交换 A 的第 s 列和第 t 列.

综上可知，① 实际上是 (I) 型初等变换的分解式. 以列变换为例，就是依次把 A 中的第 s 列和第 t 列 置 0，再依次把 A 原来的第 s 列放置到第 t 列，把 A 原来的第 t 列放置到第 s 列. 注意定义中要求 s ≠ t，因为 s = t 时，① 的右端实际就是 E.

矩阵 F_s,t 中元素取值示意如下：

1 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0
... ...
0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 (s)
... ...
0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0
... ...
0 ... 1 ... 0 ... 0 ... 0 (t)
... ...
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1
      (s)          (t)

若 F_s,t 为 n 阶方阵，则其中取值为 1 的元素就有 n 个，对角线上分布有 n - 2 个，另两个如梅色高亮所示. 易知 F_s,t · F_s,t = E，因而 (F_s,t)^-1 = F_s,t.

(II) 型初等矩阵 F_s,t(λ)

(II) 型初等矩阵定义：

F_s,t(λ) = E  + λE_s,t，s ≠ t    ②

由定义可知，F_s,t(λ) 为方阵. 

记 A 为任意 m×n 矩阵，且 F_s,t(λ) 为 m 阶方阵，则

F_s,t(λ) A = (E + λE_s,t)·A = A + λE_s,tA

λE_s,tA 是把 A 中的第 t 行乘上 λ 放到第 s 行，并对其余各行作置 0 处理，因此 A + λE_s,tA，即 F_s,t(λ) A，就是把 A 中的第 t 行乘上 λ 加到第 s 行. 也就是说，矩阵 A 左乘 F_s,t(λ) 在效果上就等同于对 A 作一次 (II) 型初等行变换.

记 A 为任意 m×n 矩阵，且 F_s,t(λ) 为 n 阶方阵，则

AF_s,t(λ) = A·(E + λE_s,t) = A + λAE_s,t

同理可知，矩阵 A 右乘 F_s,t(λ) 在效果上就等同于对 A 作一次 (II) 型初等列变换：把 A 的第 s 列乘上 λ 加到第 t 列.

显然，② 是 (II) 型初等变换的分解式. (II) 型初等矩阵的定义中同样要求 s ≠ t，因为 s = t 的情形对应的是 (III) 型初等变换.

矩阵 F_s,t(λ) 中元素取值示意如下：

1 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0
... ...
0 ... 1 ... 0 ... λ ... 0 (s)
... ...
0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0
... ...
0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 (t)
... ...
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1
      (s)          (t)

易知 F_s,t(λ) · F_s,t(-λ) = E，因而 (F_s,t(λ))^-1 = F_s,t(-λ).

(III) 型初等矩阵 F_s(λ)

(III) 型初等矩阵定义：

F_s(λ) = E  + (λ - 1)E_s,s     ③

由定义可知，F_s(λ) 为方阵. 

记 A 为任意 m×n 矩阵，且 F_s(λ) 为 m 阶方阵，则

F_s(λ) A = (E + (λ - 1)E_s,s)·A = A + (λ - 1)E_s,sA

(λ - 1)E_s,sA 是把 A 中的第 s 行乘上 λ - 1，并对其余各行作置 0 处理，因此 A + (λ - 1)E_s,sA，即 F_s(λ) A，就是把 A 中的第 s 行乘上 λ. 也就是说，矩阵 A 左乘 F_s(λ) 在效果上就等同于对 A 作一次 (III) 型初等行变换.

记 A 为任意 m×n 矩阵，且 F_s(λ) 为 n 阶方阵，则

AF_s(λ) = A·(E + (λ - 1)E_s,s) = A + (λ - 1)AE_s,s

同理可知，矩阵 A 右乘 F_s(λ) 在效果上就等同于对 A 作一次 (III) 型初等列变换：把 A 的第 s 列乘上 λ.

显然，③ 是 (III) 型初等变换的分解式. 

矩阵 F_s(λ) 中元素取值示意如下：

1 ... 0 ... 0 ... 0
... ...
0 ... λ ... 0 ... 0 (s)
... ...
0 ... 0 ... 1 ... 0
... ...
0 ... 0 ... 0 ... 1
      (s)

易知 F_s(λ) · F_s(λ^-1) = E，因而 (F_s(λ))^-1 = F_s(λ^-1).