若 x > y > 0，且 x + y = 2，求 2/(x + 3y) + 1/(2x - 2y) 的最小值.

若 x > y > 0，且 x + y = 2，求 2/(x + 3y) + 1/(2x - 2y) 的最小值。

解：记原式为 m，并记 u = x + 3y，v = x - y

由题设易知 u > v > 0，且有 u + v = 2x + 2y = 4. 于是

2m = 4/u + 1/v

8m = (4/u + 1/v)(u + v)

= 4 + 1 + 4v/u + u/v

≥ 5 + 4 = 9

m ≥ 9/8

取等号的充要条件是 4v/u = u/v，即 u/v = 2，即

x + 3y = 2x - 2y，结合 x + y = 2，可得

x = 5/3，y = 1/3.

此时，原式取得最小值 9/8.

 

附言：

若采用消元法，会得到 m = 1/(3 - x) + 1/(4x - 4) = 1/(1 + y) + 1/(4 - 4y)，就能引申出如下形式的题：

若 x > y > 0，且 x + y = 2，求 1/(3 - x) + 1/(4x - 4) 或 1/(1 + y) + 1/(4 - 4y) 的最小值。

以求 m = 1/(3 - x) + 1/(4x - 4) = (3x - 1)/[4(x - 1)(3 - x)] 的最小值为例，此时若单独考虑 x 根据其取值范围试图求该分式的最小值反而很不好处理。还是要转回到两个关联变量一起处理才方便，比如令 u = 3 - x，v = x - 1，由题设条件可知 u > 0，v > 0 （更严格地，还有 u > v），且 u + v = 2，于是

4m = 4/u + 1/v

8m = (4/u + 1/v)(u + v) = 4 + 1 + 4v/u + u/v ≥ 9

取等号的充要条件是 4v/u = u/v，即 u/v = 2，结合 u + v = 2，得 v = 2/3，u = 4/3

此时 x = v + 1 = 5/3，y = 2 - x = 1/3.