一道初二几何题的几种解法

原题：如图，在正🔺ABC 内作射线 AD，∠BAD = α（30° < α < 60°），点 B 关于 AD 的对称点为 E. 连接 EC 并延长交 AD 于点 F.

(1) 求 ∠AFE 的度数；

(2) 用等式表示线段 AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明.

解：(1) 由题设知 AC = AB = AE，∠DAE = ∠BAD = α，于是

∠ACE = ∠AEC

∠FAC = ∠BAC - ∠BAD = 60° - α

∠CAE = ∠DAE - ∠FAC = α - (60° - α) = 2α - 60°

∠ACE = (180° - ∠CAE) / 2 = (180° - 2α - 60°) / 2 = 120° - α

∠AFE = ∠ACE - ∠FAC = 120° - α - (60° - α) = 60°

(2) 由简单观察初步判断 AF > EF > CF，猜测 AF = EF + CF.

证法一：连接 BF 并延长至点 G，使得 FG = CF，连接 CG，如下图所示：

 由点 B 和点 E 关于 AD 对称可知 BF = EF，∠AFB = ∠AFE = 60°，于是

∠GFC = 180° - ∠AFB - ∠AFE = 60°，再由 FG = CF 可知 🔺CFG 为正三角形.

于是 CG = CF，∠GCB = ∠GCF + ∠FCB = 60° + ∠FCB = ∠FCA

再结合 BC = AC，可知 🔺BCG ≌ 🔺ACF (SAS)【前者绕点 C 顺时针旋转 60° 便与后者重合】

于是 AF = BG = BF + FG = EF + CF.

证法二：延长 FE 至点 G，使得 EG = CF，连接 AG，如下图所示：

易知 🔺ACF ≌ 🔺AEG (SAS)，于是AF = AG

再结合 ∠AFE = 60°，可知 🔺AFG 为正三角形， 于是

AF = FG = EF + EG = EF + CF.

证法三：延长 FE 至点 G，使得 FG = AF，连接 AG，同上图所示。

由 🔺AFG 为正三角形，同样易知 🔺ACF ≌ 🔺AEG，继而有 EG = CF，于是

AF = FG = EF + EG = EF + CF.

证法四：连接 BF，在 AF 取点 G 使得 GF = BF，连接 BG，如下图所示：

易知 🔺BFG 为正三角形，进而可知 🔺BAG ≌ 🔺BCF 【前者绕点 B 顺时针旋转 60° 便与后者重合】

从而有 AG = CF，于是

AF = FG + AG = BF + CF = EF + CF.

证法五：连接 BF，在 AF 取点 G 使得 GF = CF，连接 CG，如下图所示：

易知 🔺CFG 为正三角形，进而可知 🔺BCF ≌ 🔺ACG 【前者绕点 C 顺时针旋转 60° 便与后者重合】

从而有 BF = AG，于是

AF = AG + FG = BF + CF = EF + CF.