范德蒙方法解三次方程之 U+V 代数运算笔记

设 x³ + px + q = 0 的根为 x₁、x₂、x₃。即 (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) = x³ + px + q = 0，展开可得：

x₁ + x₂ + x₃ = 0               ①

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = p    ②

x₁x₂x₃ = -q                     ③

展开 (x₁ + x₂ + x₃ )² ，并结合 ① 和 ②，可得：

x₁² + x₂² + x₃² = -2p     ④

x³ = 1 的三个根 1、ω、ω² 满足 ω³ = 1 和 1 + ω + ω² = 0

于是：

3x₁ = (x₁ + x₂ + x₃) + (x₁ + ωx₂ + ω²x₃) + (x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

3x₂ = (x₁ + x₂ + x₃) + ω²(x₁ + ωx₂ + ω²x₃) + ω(x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

3x₃ = (x₁ + x₂ + x₃) + ω(x₁ + ωx₂ + ω²x₃) + ω²(x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

记 u = x₁ + ωx₂ + ω²x₃，v = x₁ + ω²x₂ + ωx₃，则

3x₁ = u + v

3x₂ = ω²u + ωv

3x₃ = ωu + ω²v

 uv = (x₁ + ωx₂ + ω²x₃)(x₁ + ω²x₂ + ωx₃) 

 = x₁² + x₂² + x₃² - (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

 = -2p - p = -3p

以上可以看到 u、v、u + v、uv 中，只有 uv 是 x₁、x₂、x₃ 的对称多项式。

记 U = u³，V = v³，则 UV = (uv)³ = -27p³，显然也是 x₁、x₂、x₃ 的对称多项式。

考察 U + V 的情形：

U + V = u³ + v³ = (u + v)(u² - uv + v²)

先计算 u² 和 v²：

u² = (x₁ + ωx₂ + ω²x₃)(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)

 = x₁² + ω²x₂² + ωx₃² + 2ωx₁x₂ + 2ω²x₁x3 + 2x₂x₃

v² = (x₁ + ω²x₂ + ωx₃)(x₁ + ω²x₂ + ωx₃)

 = x₁² + ωx₂² + ω²x₃² + 2ω²x₁x₂ + 2ωx₁x3 + 2x₂x₃

u² + v² = 2x₁² - (x₂² + x₃²) - 2(x₁x₂ + x₁x3) + 4x₂x₃

 = 2x₁² + (x₁² + 2p) - 2(p - x₂x₃) + 4x₂x₃

 = 3x₁² + 6x₂x₃

于是：

U + V = (u + v)(u² - uv + v²)

 = 3x₁(3x₁² + 6x₂x₃ + 3p)

= 9x₁³ + 9px₁ - 18q

= 9(x₁³ + px₁ + q) - 27q

= -27q

因而 U + V 也是x₁、x₂、x₃ 的对称多项式。

U + V = -27q，UV = -27p³，由一元二次方程可求出 U 和 V，进而求出 u 和 v，最终可求出 x₁、x₂、x₃。