对一道带干扰因素的初二几何题的解析

原题：如下图，在平面直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，AB = 5，AC // BD，AO = OE，直线 CD 过点 O。M、N 是是坐标轴上的两个动点，M 从点 A 出发经点 O 到达终点 B，N 从点 B 出发经点 O 到达终点 A。M、N 同时出发，且 M、N 的移动速度分别为 1 和 2，到达各自的终点停止。在某时刻，做 MG⊥CD 于点 G，NF⊥CD 于点 F，求△OMG ≌ △ONF 时点 M 的坐标。

分析与解：由题设，△OMG 和△ONF 显然都是直角三角形。

当 M、N 两点一个在 OA 上，一个在 OB 上时（如上图所示），由 OM⊥ON，可知 ∠MOG 与 ∠NOF 互余，因此，△OMG ≌ △ONF 当且仅当 OM = ON。

当 M、N 两点同在 OA（或 OB）上时，显然同样有：△OMG ≌ △ONF 当且仅当 OM = ON。

设 t 为从出发时间开始经历的时长，在到达点 O 前，OM = 3 - t, t < 3；ON = 4 - 2t, t < 2，这个区间若有解则必需满足：

3 - t = 4 - 2t

解这个方程，得 t = 1，即在时间区间 [0, 2] 范围内，只有 t = 1 这个时刻满足题设要求，此时点 M 的坐标为 (0, 2)。

从 t = 2 这个时刻起，M 和 N 同在 OA 上，且都朝对方方向移动，必然会相遇，相遇时刻显然满足：

t + 2t = 3 + 4

即 t = 7/3 时，M、N 相遇，此时显然满足 OM = ON，点 M 走过的长度为 7/3，3 - 7/3 = 2/3，因此，此刻点 M 的坐标为 (0, 2/3)。

M、N 在相遇之后变为彼此背向移动，即 ON 逐步变长，而 OM 逐步变短，当 M 到达点 O，OM 重新开始变长，但 M 的速度比 N 的速度小，只有等 N 达到终点停下来，才有可能再次出现 OM = ON。

N 达到终点的时刻满足：2t = 4 + 3，即 t = 7/2 这个时刻起总有 ON = 3，而 M 在 t = 7/2 这个时刻，所走总长度为 (7/2)·1 = 7/2，7/2 - 3 = 1/2，即 OM = 1/2，在 点 M 到达终点 B(4, 0) 之前还会有且仅有一次 OM = ON，此时 M 的坐标为 (3, 0)，对应的时刻为 t = (3 + 3)/1 = 6。 

综上分析，点 M 满足题设要求的位置有三处，坐标分别为 (0, 2)、(0, 2/3) 和(3, 0)。

 

最后来看一下这个题在题设里给出了哪些纯属多余的条件：

1、AB=5，表面上给人感觉这是为照顾还没学到勾股定理的初二孩子（避免超纲）的贴心做法，其实只是个干扰因素；

2、AC // BD；

3、AO = OE。

事实上，点 C 和点 D 可以在第一和第三象限任取，只要满足C、O、D三点共线即可。

另外，平面直角坐标系的前提也给那两个直角三角形全等提供了基础性的保障，即保障它们（M 或 N 落在原点的情形除外）总满足相似关系。如果题面改为平面斜角坐标系，比如让 AO = 5，OB = 4，并让 AB 垂直于 OB，此时布置题面时就得很小心地确保 CD 是 ∠AOB 的角平分线，只有这样才能为 △OMG ≌ △ONF 提供基础保障。可以在这个角平分线的证明上设置一定的难度。

如果褪去平面直角坐标系和三角形全等这样的一些彩头，这个题就是一道稀松平常的小学题，比如：

甲乙两地相距一条笔直的公路，总长 7 公里。甲地在西头，乙地在东头，中途有一个加油站，距甲地 3 公里。M 和 N 两车分别从甲地和乙地同时出发，M 的车速为 1 公里/分钟，N 的车速为 2 公里/分钟，M 的终点为乙地，N 的终点为甲地。求 M 行驶到哪些位置时，M 和 N 离加油站的距离相等。