红蓝绿三对球天平称量问题求解与分析

原题：红蓝绿三对球，已知每一对同色球都是一轻一重，且三个重球重量相同，三个轻球重量相同。借助一台无砝码天平，只需做两次称量就能分辨出每个球是轻是重，请问如何做到？

解：用 R1、R2、B1、B2、G1、G2 表示题设的 6 个球，同时表示对应球的重量。

第一次称量，天平一端放上 R1、B1，另一端放上 R2、G1，即考察 R1 + B1 与 R2 + G1 的大小关系，有三种可能：

（1）R1 + B1 > R2 + G1

此时有 R1 > R2，即 R1 是重球，R2 是轻球，不然无法满足（1）；且有 B1 ≥ G1，不然无法满足（1）。

第二次称量，考察 B1 和 G2 的大小关系，有三种可能：

（1-1）B1 > G2

此时，B1 重，G2 轻，G1 重，B2 轻。

（1-2）B1 = G2

结合 B1 ≥ G1 可知此时，B1 重，G2 重，G1 轻，B2 轻。

（1-3）B1 < G2

此时，B1 轻，G2 重，G1 轻，B2 重。

（2）R1 + B1 < R2 + G1

此时有 R1 < R2，即 R1 轻，R2 重；且有 B1 ≤ G1。

第二次称量，考察 B1 和 G2 的大小关系，有三种可能：

（2-1）B1 > G2

此时，B1 重，G2 轻，G1 重，B2 轻。

（2-2）B1 = G2

结合 B1 ≤ G1 可知此时，B1 轻，G2 轻，G1 重，B2 重。

（2-3）B1 < G2

此时，B1 轻，G2 重，G1 轻，B2 重。

（3）R1 + B1 = R2 + G1

R1 和 R2 为一轻一重，为满足（3），B1 和 G1 也必然是一轻一重。

第二次称量，考察 B1 和 G1 的大小关系，有两种可能：

（3-1）B1 > G1

此时，B1 重，G1 轻，G2 重，B2 轻，R1 轻，R2 重。

（3-2）B1 < G1

此时，B1 轻，G1 重，G1 重，B2 轻，R1 重，R2 轻。

综上，上面的方案满足题设要求。

 

分析说明：

这题的关键是找到可行的第一次称量方案，即天平两端各放两个球，四球中恰有一对同色球且这对同色球要分开放。那怎么能找到这个可行方案呢？只有一个法子：试错。就像走迷宫，尝试走某条路，发现走不通，标记好这条路尝试过了且行不通以避免下次再重复走，接着做出调整尝试一条新路，直到最后找到一条可行的路，或者所有的路全尝试了都不通为止。

就本题而言，比如第一次尝试一对一的称量，有两种可能：

（1）同色球称量，比如R1对R2

称量结果有两种，R1 > R2 或 R1 < R2，即总能分辨出这一对同色球谁轻谁重，但另外四个球的轻重情况无法通过一次称量做出准确判断。

（2）不同色球称量，比如B1对G1

称量结果有三种，其中B1 = G1是有问题的，导致无法再通过一次称量判断出六个球的轻重。

因此第一次称量采用一对一的做法是不可行的。来看第一次称量尝试三对三的情形，也有两种可能：

（1）三种颜色的球两端各放一个，比如R1,B1,G1对R2,B2,G2

易知必然有一端重于另一端，重的那端可能是三个重球，也可能是两重一轻。只剩一次称量，无法满足题设要求。

（2）两端都是一对同色球配一个异色球，比如R1,R2,B1对B2,G1,G2

由题设条件知，R1+ R2 = G1 + G2，因此这次称量等价于B1对B2的称量，同上分析，一样不可行。

综上分析可知，第一次称量只能是二对二的称量。具体又有两种可能：

（1）一端是同色球另一端是异色球，比如R1,R2对B1,G1

称量结果有三种，其中R1 + R2 = B1 + G1的情形会有问题，这时只能知道B1和G1一轻一重，只剩一次称量，无法满足题设要求。

（2）两端都是异色球，又可以细分为两种情形

（2-1）四球两色，即有一对同色球不参与称量，比如R1,B1对R2,B2（相等时有问题，不可取）

（2-2）四球三色，比如R1,B1对R2,G1

这便是前面使用的可行的第一次称量方案。