已知 2^2021是首位为 2 的 609 位数，求 2^0、2^1、2^2、...、2^2021 中有多少个数是首位为 4 的。

已知 2²⁰²¹ 是首位为 2 的 609 位数，求 2⁰、2¹、...、2²⁰²¹ 中有多少个数是首位为 4 的。

解：记2⁰、2¹、...、2²⁰²¹ 中首位为 a 的数有 F(a) 个，a 可以取 1 到 9 范围内的自然数。显然有 F(1) + F(2) + ... + F(9) = 2022

当 2ⁿ 是首位为 a 的 u 位数时，可记为 2ⁿ = a.x · 10^u，x 表示 2ⁿ 的科学记数法的小数部分，如：

2⁰ = 1.0 · 10⁰，2¹ = 2.0 · 10⁰，2² = 4.0 · 10⁰，2³ = 8.0 · 10⁰

2⁴ = 1.6 · 10¹，2⁵ = 3.2 · 10¹，2⁶ = 6.4 · 10¹

2⁷ = 1.28 · 10²，2⁸ = 2.56 · 10²，2⁹ = 5.12 · 10²

...

由上面的示例容易发现，一位数（1，2，4，8）中有一个首位为 1 的数；两位数（16，32，64）中有一个首位为 1 的数；三位数（128，256，512）中有一个首位为 1 的数...

这很容易理解，当 2ⁿ 的首位 a 大于等于 5 时，2ⁿ⁺¹ 的首位必然为 1（10 ≤ 2·a.x < 20），且 2ⁿ⁺¹ 的位数比 2ⁿ 的位数大 1。

已知 2²⁰²¹ 是首位为 2 的 609 位数，由此可知，2⁰、2¹、...、2²⁰²¹ 中 609 位数只有 2²⁰²⁰ 和 2²⁰²¹，这两个数的首位分别为 1 和 2。

于是有 F(1) = 609，以及

F(5) + F(6) + F(7) + F(8) + F(9) = 609 - 1 = 608

当 1.x < 1.5 时，[1.x · 2] = 2；当 1.x ≥ 1.5 时，[1.x · 2] = 3，于是有

F(1) = F(2) + F(3)

因而 F(4) = 2022 - 609 · 2 - 608 = 196。

 

拓展题：已知 2²⁰²¹ 是首位为 2 的 609 位数，求 5⁰、5¹、...、5²⁰²¹ 中有多少个数是首位为 4 的。

解：记5⁰、5¹、...、5²⁰²¹ 中首位为 b 的数有 G(b) 个，b 可以取 1 到 9 范围内的自然数。显然有 G(1) + G(2) + ... + G(9) = 2022

当 2ⁿ 是首位为 a 的 u 位数时，可记为 2ⁿ = a.x · 10^u，x 表示 2ⁿ 的科学记数法的小数部分。同样地，当 5ⁿ 是首位为 b 的 v 位数时，可记为 5ⁿ = b.y · 10^v，y 表示 5ⁿ 的科学记数法的小数部分。

由 2ⁿ·5ⁿ=10ⁿ可知， a.x · 10^u ·  b.y · 10^v=10ⁿ  

当 n = 0 时，有 a = b = 1 和 u = v = 0；

当 n ≠ 0 时，有

a.x · b.y = 10   ①

u + v + 1= n     ②

由 ① 易知：

当 a = 1 时，b = 5, 6, 7, 8, 9，反之亦然；

由对称性，又有：

当 b = 1 时，a = 5, 6, 7, 8, 9，反之亦然。

于是就有

G(5) +G(6) + G(7) + G(8) + G(9) = F(1) - 1 = 608

G(1) = F(5) + F(6) + F(7) + F(8) + F(9) + 1 = 609

再由 [b.x · 5] = 1可推知 b = 2, 3，但是打头的 5⁰ 没有对应这个关系的 b，于是有

G(2) + G(3) = G(1) - 1 = 608

因而 G(4) = 2022 - 609 - 608 - 608 = 197。