矩阵乘积的由来推导笔记

A(m × n 阶), B(t × m 阶), C:(t × n 阶)

α:R_n->R_m,  β:R_m->R_t,  β·α:R_n->R_t 是三个线性映射，分别对应于矩阵 A、B 和 C

X=[x₁,...,x_n], Y=[y₁,...,y_m], Z=[z₁,...,z_t]

α(X) = XA = x₁A⁽¹⁾+...+x_nA⁽ⁿ⁾ = Y

β·α(X) = β(α(X)) = β(Y) = YB = (XA)B =  (x₁A⁽¹⁾+...+x_nA⁽ⁿ⁾)B = x₁A⁽¹⁾B+...+x_nA⁽ⁿ⁾B

 = XC = x₁C⁽¹⁾+...+x_nC⁽ⁿ⁾ = Z

 C⁽¹⁾ = [c₁₁,c₂₁,...,c_t1] = A⁽¹⁾B = [a₁₁,a₂₁,...,a_m1]B = a₁₁B⁽¹⁾+a₂₁B⁽²⁾+...+a_m1B^(m)

 = a₁₁[b₁₁,b₂₁,...,b_t1] + a₂₁[b₂₁,b₂₂,...,b_t2] + ... + a_m1[b_1m,b_2m,...,b_tm]

c₁₁ = a₁₁·b₁₁+a₂₁·b₁₂+...+a_m1b_1m  = A⁽¹⁾ · B₍₁₎

c₂₁ = a₁₁·b₂₁+a₂₁·b₂₂+...+a_m1b_2m  = A⁽¹⁾ · B₍₂₎

c_ij = A^(j) · B_(i)                  ①

上面的推导里有 (XA)B = XC。 如果定义 (XA)B := X(AB)，则有

AB = C，即矩阵A（m × n 阶）× 矩阵B（t × m 阶）= 矩阵C（t × n 阶），规则为①

但是翻看教科书会发现，对应上面推导过程的实际定义是 (XA)B := X(BA)，即

BA = C，即矩阵B（t × m 阶）× 矩阵A（m × n 阶）= 矩阵C（t × n 阶），规则为①

这时，把①写成下式，更符合习惯：

c_ij =  B_(i)· A^(j)                  ②

当然，教科书上为了更加符合习惯，使用的定义实际上 (XB)A := X(AB)，就是说讨论的是 α·β(X)，而不是上面的 β·α(X)。前者的结论是 φ_A·φ_B = φ_AB，后者的结论是 φ_B·φ_A = φ_BA，尽管本质上是一样的，但是前者更符合引入 A·B 定义的习惯。