关于二元一次不定方程的整数解相关结论的推导
整数解的通解公式推导
二元一次不定方程的一般形式为：
ax + by = c ①
这里，a、b和c都是正整数，且满足(a,b) = 1
由(a,b) = 1知，存在一对整数u和v，满足 au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这一对整数是方程①的一组特解，即有
am + bn = c ②
由①②，有
a(x-m) = -b(y-n)
(x-m)/b = -(y-n)/a := t
x = m + bt, y = n - at ③
由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即方程①的任意一组整数解都有唯一对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。易知这些整数解在平面直角坐标系中处在同一条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满足(a,b)=1即可。
非负整数解的相关结论推导
考虑①的非负整数解，则③里的 t 需要满足：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即
t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④
t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤
由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]
于是有
-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥
只要[n/a] ≥ -[m/b]，方程①就一定存在非负整数解。事实上，①的非负整数的解数为
M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦
例如就8x + 15y = 2而言，x = 4, y = -2是其一组特解，代入⑦，有
M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0
即8x + 15y = 2没有非负整数解。
⑦给出的方程①的非负整数解数M的判别式需要借助一组特解，以下试图只用常数a、b和c来表示M：
M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1
= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}
= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}
由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知
Δ = 0或-1，于是
M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧
⑧这个表示式里没有特解，而只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的非负整数解数的一个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。例如对于8x + 15y = 2，如前述，由⑦可知该方程无非负整数解，而由⑧可知M=0或1，并不能明确该方程有无非负整数解。
由⑧知，当c ≥ ab时，方程①一定有非负整数解。利用⑦可以得到更为明确的结论，具体推导如下：
c = am + bn = (m/b + n/a)(ab)
c/(ab) = [m/b] + [n/a] + {m/b} + {n/a}
= M - 1 + {m/b} + {n/a}
≤ M - 1 + (b-1)/b + (a-1)/a = M + 1 - 1/a - 1/b
c ≤ abM + ab - a - b
于是有
abM ≥ c - ab + a + b ⑨
当c > ab - a - b时，⑨的右端为正整数，M必需大于0才能使得⑨成立，M为整数，所以M ≥ 1，即此时方程①必然存在非负整数解。
当c = ab - a - b时，①即为ax + by = ab - a - b，即
a(x+1) + b(y+1) = ab ⑩
假设该方程存在非负整数解，则由(a,b) = 1，可知
a | y+1, b | x+1
又由a、b、x+1、y+1均为正整数，有
x+1 ≥ b, y+1 ≥ a
于是⑩的左端不小于2ab，无法和⑩右端的ab相等。因此，当c = ab - a - b时，方程①没有非负整数解。
有了上述绿色高亮所示的结论，则 求只用8分和15分的邮票（可无限重复）无法凑出的最大分值邮资 问题的解即可直接给出（即 8·15 - 8 - 15 = 97）。
正整数解的相关结论推导
考虑①的正整数解，则③里的 t 需要满足：m + bt > 0 和 n - at > 0，即
t > -m/b = [-m/b] + {-m/b} ④'
t < n/a = -[-n/a] - {-n/a} ≤ -[-n/a] ⑤'
由⑤'，知 t < -[-n/a]，再由t为整数，知
t ≤ -[-n/a] - 1
由④'，有 -t < -[-m/b] - {-m/b} ≤ -[-m/b]
同样有
-t ≤ -[-m/b] - 1
于是有
[-m/b] + 1 ≤ t ≤ -[-n/a] - 1 ⑥'
只要-[-n/a] ≥ [-m/b] + 2，方程①就一定存在正整数解。事实上，①的正整数的解数为
N := -[-n/a] - [-m/b] - 1 ⑦'
例如就8x + 15y = 2而言，把m = 4, n = -2这一组特解代入⑦'，有
N = -[2/8] - [-4/15] - 1 = -0 - (-1) - 1 = 0
即8x + 15y = 2没有正整数解。
⑦'给出的方程①的正整数解数N的判别式需要借助一组特解，以下试图只用常数a、b和c来表示N：
N = -[-n/a] - [-m/b] - 1
= {-n/a} + n/a + {-m/b} + m/b - 1
= c/(ab) - 1 + {-n/a} + {-m/b} [*]
= -[-c/(ab)] - 1 - {-c/(ab)} + {-n/a} + {-m/b}
由Λ := -{r+s} + {r} + {s} = -([r] + [s] - [r+s])，可知
Λ = 0或1，于是
N = -[-c/(ab)] - 1 或 -[-c/(ab)] ⑧'
⑧' 这个表示式里没有特解，而只有a、b和c；和 ⑦' 同样，⑧' 也是对①的正整数解数的一个刻画，但 ⑦' 是确定刻画，⑧' 是不确定刻画。例如对于8x + 15y = 2，如前述，由 ⑦' 可知该方程无正整数解，而由 ⑧' 可知N=0或1，并不能明确该方程有无正整数解。
由 ⑧' 知，当c > ab时，方程①一定有正整数解。而当c = ab时，由 ⑧' 知，N=0或1，由此并不能明确方程①是否有正整数解。
当c = ab时，①即为
ax + by = ab ⑨'
假设该方程存在正整数解，由(a,b) = 1，知 b | x, a | y；再由a、b、x、y均为正整数，可知 x ≥ b, y ≥ a
于是 ⑨' 的左端不小于2ab，无法和 ⑨' 右端的ab相等。因此，当c = ab时，方程①没有正整数解。
【*】如果把 c/(ab) 分拆为 [c/(ab)] 和 {c/(ab)}，则有 N = [c/(ab)] - 1 + {c/(ab)} + {-n/a} + {-m/b}，后三项为 Ω := {r+s} + {-r} + {-s} 的形式，0 ≤ Ω < 3。
由 Ω = {r+s} + {-r} + {-s} = -[-r] -[-s] - [r+s]，知 Ω 为整数。当r、s为整数时，Ω = 0；当0 < r, s < 1/2时， Ω = 2；当1/2 ≤ r, s < 1时，Ω = 1。
因此N的不确定表达会有三个取值，即 [c/(ab)] - 1、[c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1。比 ⑧' 更加不确定。
正整数解和非负整数解的有无判别的等价结论的证明
方程 ax + by = c 有正整数解的充分必要条件是方程 ax + by = c-a-b 有非负整数解。
证明：
（1）必要性
若 ax + by = c 有正整数解，即有正整数 m, n 满足 am + bn = c，则有 a(m-1) + b(n-1) = c-a-b，即非负整数m-1, n-1是 ax + by = c-a-b 的一组解。
（2）充分性
若 ax + by = c-a-b 有非负整数解，即有非负整数 m, n 满足 am + bn = c-a-b，则有 a(m+1) + b(n+1) = c，即正整数m+1, n+1是 ax + by = c 的一组解。
说明一下，这个等价结论不要求a、b、c为正整数，也不要求(a,b) = 1，a、b、c可以为任意实数（甚至为任意复数）。
这个等价结论非常简单也非常明显，却能起到很不简单的作用。比如上面推导出方程①在c > ab时一定有正整数解，按这个等价结论直接就推导出方程①在C > ab - a - b时一定有非负整数解；同样，上面推导出方程①在c = ab时没有正整数解，按这个等价结论直接就推导出方程①在C = ab - a - b时没有非负整数解。反过来也是一样的。即正整数解和非负整数解的结论只需推导出其中一个，由这个等价结论就能直接推导出另一个。
