音乐家观演问题求解与拓展分析
原题：六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？
解：以数值 0 到 5 分别表示这六位音乐家。用有序对 (x, y) 表示音乐家 x 观看了音乐家 y 的表演，x, y = 0,1,...,5. 题设要求就特定一个音乐家而言，以观众身份需要 6 - 1 = 5 个互不相等的有序对。6 位音乐家就需要 5·6 = 30 个互不相等的有序对.
一场音乐会上，这六位音乐家假设有 m 位当观众，则另 6 - m 位以表演身份出场，这场演出可以提供 m·(6 - m) 个有序对，当m = 3时，m·(6 - m) 取得最大值 9. 由于 9·3 < 30 < 9·4，可以推断至少需要 4 场音乐会才可能满足题设要求.
接下来尝试构造符合题设要求的 4 场音乐会的一个实例. 用形式语义符号 Ck:abc-def 表示第 k 场音乐会 a、b、c 为观众，d、e、f 为表演者.
于是不妨令：
C1:012-345
C2 安排让 0 观看还没有观看到的 1 和 2，于是就有 C2:0ab-12c. 此时 a、b、c 的位置要填上 3、4、5，由对称性，不妨令：
C2:034-125
此时，左数为 0 的不同有序对已经达到 5 个，即表示 0 已经看过其余 5 人的表演了.
同样地，会有 C3:1de-02f. 此时 5 还不曾作过观众，优先令 e = 5，于是有：
C3:135-024
同样地，还有 C4:2gh-01i. 上述前三场安排中，0、1、3 都已经看过其余人的表演了，故有：
C4:245-013
验证4和5，均符合，构造完成.
综上可知，至少要安排 4 场音乐会.
附言：
此题和 10个学生参加若干小组问题求解与分析 里的那个题不太一样，但解题思路是大致相通的.
扩展分析：
如果把原题里的 6 位音乐家增加到 8 位，其它要求不变，情况会怎么样？
此时，要求不同的有序对的数量为 7·8 = 56，而每场演出能提供的不同有序对的数量为 4·4 = 16. 由16·3 < 56 < 16·4，可以推断至少要安排 4 场演出。但在实际构造环节却构造不出满足要求的 4 场演出的实例来.
比如，令：
C1:0123-4567
C2:0456-1237
C3:1457-0236
C4:2467-0135
上面针对原题的构造实例里，6位音乐家都是在左侧正好出现两次（即做了两次观众），6位音乐家总计做了 2·6 = 12 次观众；另一方面，一场演出有 3 个左侧位置（即为音乐家提供 3 个观众身份），4 场演出则有 3·4=12 个观众身份.
在扩展情形，同样有 8·2 = 4·4 的观众身份对应关系. 似乎也可以有每人恰好做两次观众就能看到其余人演出的实例. 但上面的构造没能做到，具体分析如下：
C1:0123-4567，第一场 0、1、2、3 为观众，他们看了 4、5、6、7 的演出，为使得 0、1、2、3 分别再当一次观众就可看到其余人的演出，这四人中不能再有两人同为观众的情形出现（反证法）. 所以随后的 C2、C3、C4里，分别安排 0、1、2 当观众，而 3 只能被安排为演出者。即 3 仅在第一场当观众，只看了4个人的演出. 因此，这样的4场演出安排无法满足要求.
那么，不限定每人恰好做 2 次观众，让有些人做 3 次甚至 4 次观众呢？回到上述的观众身份对应关系，4 场演出提供共计 16 个观众身份，8 个人中只要其中有一个人占据了 3 次或更多次观众身份，就必有另一个人的观众身份少于 2 次，即至多当了一次观众，那他至多只能看到 4 个人的演出.
综上分析，可知安排 4 场 4 对 4（4 个观众对 4 个演出者）的演出，没有办法让 8 个音乐家中的每个人都看到其余人的演出.
上面的构造，再加一场演出，即C5:3567-0124，就可以满足要求了.
下面严格证明：
拓展题：为 n(n>6) 个音乐家安排 m 对 n - m（m 人为观众观看另外 n - m 人表演）的演出，各场演出之间可以独立选取 m。求证：无论怎么安排，4 场演出无法满足每个音乐家都能观看到其余音乐家的表演.
证明：以下常直接以“人”称谓“音乐家”. 为进一步方便描述，定义一个说法：
为 n(n>1) 个人安排独立的 k 场演出，每场演出安排若干人当观众，其余人为表演者。若这 k 场演出满足每个人都能观看到其余 n - 1 人表演，则称这 k 场演出满足 [k,n] 满观演，这样的 k 场演出也称为满足 [k,n] 满观演的一个实例.
于是，待证命题就等价于：
若 n > 6，则不存在满足 [4,n] 满观演的实例.
n = 6 的情形，前面已经有一定的分析，并给出了满足 [4,6] 满观演的一个实例. 下面做进一步分析.
假设存在满足 [4,6] 满观演的这样一个实例，其中有个人在 4 场演出中只当了 1 次观众，不妨记为：
C1:0-12345
即第一场演出中，0 作为观众观看了其余 5 人的表演. 这一场演出只提供了 5 个观演有序对，为满足 [4,6] 满观演，剩余的三场演出不能再有 1 人观看其余 5 人的安排（否则 5·2+9·2 < 30）. 这说明后三场演出中，1、2、3、4、5 均至少做了两次观众. 另外，后三场演出中至少有一场是 3 对 3 的演出（否则5·1+8·3 < 30）. 于是，不妨令：
C2:123-045
即第二场演出中，1、2、3 为观众，0、4、5 为表演者.
不妨令 1 在第三场演出中继续当观众，则 2、3 为表演者，即有：
C3:1ab-23c
此时，2 和 3 都只当过一次观众，按上述分析，2 和 3 都要在第四场演出中当观众. 即：
C4:23d-efg
这样就会出现 2 没有观看到 3 的表演（3 也没有观看到 2 的表演）的问题，这与开始的假设矛盾. 这就推导出了如下结论：
满足 [4,6] 满观演的任意实例中，每个音乐家当观众的次数都大于1. ①
由此可知，满足 [4,6] 满观演的一个实例中，6 个人当观众的总数不小于 12.
任意满足 [k,n] 满观演的一个实例，由前面的分析可知，会提供如下一个观演有序对集合：
S = {(i,j) | i ≠ j, i,j = 0,1,...,n-1}.
易知集合 S 的成员数为P(n,2) = n·(n-1).
对 S 中的任意一个观演有序对 (i, j)，可以做反向理解，即 j 为 i 提供了表演，即有对应的演观有序对 [j, i]。由上述 S 的表示式的对称性可知：
满足 [k,n] 满观演的一个实例，必然也满足 [k,n] 满演观，即这 k 场演出中每个人都为其余 n - 1 人进行了表演. ②
于是，就有与 ① 对等的如下结论：
满足 [4,6] 满观演的任意实例中，每个音乐家当表演者的次数都大于 1. ③
以下的结论是显然的：
一场演出的音乐家总数等该场演出的观众数加上表演者数. ④
6 位音乐家的 4 场演出至多有 6·4 = 24 个音乐家身份. 为满足 [4,6] 满观演：
由 ① 知，4 场演出的观众身份总数不小于 2·6 = 12.
由 ③ 知，4 场演出的表演者身份总数不小于 2·6=12.
再结合 ④ 便知，为满足 [4,6] 满观演：
（1）每场演出中，6 位音乐家都以观众或表演者的身份出场，无一人缺席；
（2）4 场演出中，每人正好做了两次观众，也正好做了两次表演，6 人合计观众身份、表演者身份各 12 次.
这说明满足 [4,6] 满观演的一个实例中，有可能存在 2 对 4 的演出和 4 对 2 的演出，且这两种演出成对出现. 实际尝试构造一下. 不妨令：
C1:01-2345
再令 0 和 1 的第二次观众身份在分别 C2 和 C3 中出现，即有：
C2:0...-1...
C3:1...-0...
C4 中 0 和 1 均为表演者，即有：
C4:...-01...
C2往 3 对 3 细化，不失一般性，可令为：
C2:023-145
此时，4 和 5 都已经以表演者身份出场两次了，4 和 5 之间还没有观看到对方的表演，不能满足 [4,6] 满观演.
C2 往 2 对 4 细化，不失一般性，可令为：
C2:02-1345
此时，也有同样的问题（4 和 5 都已经以表演者身份出场两次了，4 和 5 之间还没有观看到对方的表演），不能满足 [4,6] 满观演.
C2 只剩下往 4 对 2 细化的可能，不失一般性，可令为：
C2:0234-15 （C1:01-2345）
此时，5 作为表演者身份已出现了两次，还有两次观众身份分别出现在 C3 和 C4. C3 往 3 对 3 细化，不失一般性，可令为：
C3:125-034
此时，3 和 4 都已经以表演者身份出场两次了，3 和 4 之间还没有观看到对方的表演，不能满足 [4,6] 满观演.
C3 往 2 对 4 细化，只能为：
C3:15-0234
此时，同样由 3 和 4 可知，不能满足 [4,6] 满观演.
C3 只剩下往 4 对 2 细化的可能，不失一般性，可令为：
C3:1235-04
此时，2 和 3 都已经以观众身份出现了两次，但 2 和 3 之间还没有观看到对方的表演，不能满足 [4,6] 满观演.
以上分析推导出以下结论：
满足 [4,6] 满观演的实例只能由 4 场 3 对 3 的演出构成.
接下来着手证明：
若 n > 6，则不存在满足 [4,n] 满观演的实例.
若 n 为奇数，则有 n = 2m + 1, m >= 3，一场演出最大提供 m·(m + 1) 个观演有序对. 而要满足 [4,n] 满观演，需要有 (2m + 1)·2m 个观演有序对.
4·m·(m + 1) - (2m + 1)·2m = 2m
由此看，满足 [4,2m+1] 满观演的实例可能是存在的。
假设存在满足 [4,2m+1] 满观演的实例，且有人只当了一次观众，对应的那场演出，不妨具体化为 C1:0-1,...,2m，仅能提供 2m 个观演有序对. 而
2m + 3·m·(m + 1) - 2m·(2m + 1) = m·(3 - m) <= 0
这个差式的值，只有m = 3时为0；m > 3时均为负数，无法满足 [4,2m+1] 满观演.
进一步考察 m = 3 的情形，此时 C2、C3、C4 均是 3 对 4 或 4 对 3 的演出. 考虑音乐家 1，在后三场演出中，他不可能 3 次都当观众（否则 2 无法看到 1 的表演）；他也不可能只当一次观众（否则他至多只能观看到其他 4 人的表演）。因此 1 在后三场演出中恰好当了两次观众. 由对称性可知，音乐家 2、...、6 在后三场演出中也都恰好当了两次观众.
不妨令音乐家 1 在 C2 和 C3 中当观众，在 C4 中做表演. 他在 C1 中只给音乐家 0 做了表演，而 C4 里观众至多有 4 个（C4 必需为 4 对 3 或 3 对 4的演出），1 + 4 < 6，因而还是有人没有观看到他的表演.
再来看 n 是偶数的情形，即有 n = 2m, m >= 4，一场演出最大提供 m·m 个观演有序对. 而要满足 [4,n] 满观演，需要有 2m·(2m - 1) 个观演有序对.
4·m·m - (2m - 1)·2m = 2m
由此看，满足 [4,2m] 满观演的实例可能是存在的.
假设存在满足 [4,2m] 满观演的实例，且有人只当了一次观众，对应的那场演出，不妨具体化为 C1:0-1,...,2m-1，仅能提供 2m - 1 个观演有序对. 而
2m - 1 + 3·m·m - 2m·(2m - 1) = m·(4 - m) - 1< 0
由于m >= 4，这个差式的值总为负数，无法满足 [4,2m] 满观演.
综上分析，有如下结论：
若存在满足 [4,n] 满观演（n > 6）的实例，则这个实例中每个音乐家当观众的次数都大于1. ⑤
同样由②，又有如下对等结论：
若存在满足 [4,n] 满观演（n > 6）的实例，则这个实例中每个音乐家当表演者的次数都大于 1. ⑥
n 位音乐家（n > 6）的 4 场演出至多有 4n 个音乐家身份. 为满足 [4,n] 满观演：
由 ⑤ 知，4 场演出的观众身份总数不小于 2n
由 ⑥ 知，4 场演出的表演者身份总数不小于 2n
再结合 ④ 便知，为满足 [4,n] 满观演（n > 6）：
（1）每场演出中，n 位音乐家都以观众或表演者的身份出场，无一人缺席；
（2）4 场演出中，每人正好做了两次观众，也正好做了两次表演，n 人合计观众身份、表演者身份各 2n 次；
（3）4 场演出中，至少有一场的观众数不少于 4.
最后一个结论是显然的（不然 2n ≤ 3·4 = 12，推出 n ≤ 6）. 于是不妨令：
C1:0123...-...
为使得 0、1、2、3 分别再当一次观众就可看到其余人的演出，这四人中不能再有两人同为观众的情形出现（反证法：不妨设 0 和 1 在 C2 中再次同为观众，则 0 和 1 彼此没有观看到对方的表演）. 所以随后的 C2、C3、C4 里，分别安排 0、1、2 当观众，而 3 只能被安排为演出者. 即 3 仅在第一场当观众，只看了 4 个人的演出. 因此，这样的 4 场演出安排无法满足 [4,n] 满观演. 证毕.
