三个正整数的最小公倍数为480，求这样的三个数有多少种组合。
三个正整数的最小公倍数为480，求这样的三个数有多少种组合。
解法一：480=25·3·5。分两步进行考虑。
步骤一：
先考虑满足[x,y,z]=25的组合数，即求出有多少个满足条件的三元组 {x,y,z}，每个三元组 {x,y,z} 要求x ≤ y ≤ z
25里素因数只有2，可知 z 只能为25。而a和b取值组合按取值相同与否分别有C(6,2)=15和C(6,1)=6种，于是求得满足[x,y,z]=25的情形的组合数为21。
步骤二：
在上面的基础上把3和5加进去，求满足[a,b,c]=25·3·5的情形的组合数，即求出有多少个满足条件的三元组 {a,b,c}，每个三元组内部的三个数按因数2的数目由少到多排列。
把满足[x,y,z]=25的21个三元组分成以下三类分别考虑：
① x,y,z互不相等的情形
z固定为25，所以x和y的取值可能的组合数为C(5,2)=10。
任取其中一个三元组，比如{x,y,z}={1,2,25}，往这个三元组里添加因数3，使得新得到的三元组{r,s,t}满足[r,s,t]=25·3
添加一个3，有C(3,1)=3种满足条件的组合，即{3·1,2,25}、{1,3·2,25}和{1,2,3·25}
添加两个3，有C(3,2)=3种满足条件的组合，即{3·1,3·2,25}、{3·1,2,3·25}和{1,3·2,3·25}
添加三个3，有C(3,3)=1种满足条件的组合，即{3·1,3·2,3·25}
一共有3+3+1=7种满足条件的组合（也可以由x、y、z都可以乘上一个3也可以不乘但至少有一个要乘上3求得，即2·2·2-1=7）。
此类的{x,y,z}有10个，故对应的{r,s,t}有10·7个。
易知每个新得到的三元组 {r,s,t} 依然保持着内部的三个数互不相等的特性。往这些三元组中任意一个里添加因数5，使得新得到的三元组{a,b,c}满足[a,b,c]=25·3·5，同样会有7种满足条件。
于是此类的10个{x,y,z}会得到满足题设条件的10·7·7=490种组合。
② x=y=z的情形
此类的{x,y,z}只有一个，即{25,25,25}
往这个三元组里添加因数3，使得新得到的三元组{r,s,t}满足[r,s,t]=25·3
易知添加一个3，两个3，三个3各只有一种满足条件的组合，不妨记为{25,25,3·25}，{25,3·25,3·25}，{3·25,3·25,3·25}
往这些{r,s,t}三元组中添加因数5，使得新得到的三元组{a,b,c}满足[a,b,c]=25·3·5
考虑{25,25,3·25}：
添加一个5，有2种组合，即{25,5·25,3·25}和{25,25,5·3·25}
添加两个5，有2种组合，即{5·25,5·25,3·25}和{25,5·25,5·3·25}
添加三个5，有1种组合，即{5·25,5·25,5·3·25}
即有2+2+1=5种满足题设的组合。
考虑 {25,3·25,3·25} 同样有5种满足题设的组合。
考虑{3·25,3·25,3·25}，添加一个5、两个5、三个5各有1种满足题设条件的组合。
因此，此类的3个{x,y,z}会得到满足题设条件的5+5+3=13种组合。
③ x,y,z中恰有两数相等的情形
此类的{x,y,z}三元组有21-10-1=10个。以{x,y,z}={2,2,25}为例，来考虑添加3和5求满足题设条件的组合数。
添加一个3，可得到两种不同组合，即{2,2,3·25}和{2,3·2,25}
{2,2,3·25}里有两个数相等，往里添加5，如前所述有5种满足题设条件的组合；
{2,3·2,25}里三个数互不相等，往里添加5，如前所述有7种满足题设条件的组合。
5+7=12
添加两个3，可得两种不同组合，即{2,3·2,3·25}和{3·2,3·2,25}
{2,3·2,3·25}里三个数互不相等，往里添加5，有7种满足题设条件的组合；
{3·2,3·2,25}里有两数相等，往里添加5，有5种满足题设条件的组合。
7+5=12
添加三个3，可得一种组合，即{3·2,3·2,3·25}
{3·2,3·2,3·25}里有两数相等，往里添加5，同样有5种满足题设条件的组合。
12+12+5=29
此类的{x,y,z}三元组有10个，故有29·10=290种满足题设条件的组合。
综上，满足题设条件的组合数为490+13+290=793。
解法二：（葛永超提供）
480=25·3·5。三个正整数记作a、b、c，由题设有 [a,b,c] = 25·3·5。以下分步骤考虑。
步骤一：求满足[a,b,c] = 25·3·5的a、b、c的排列数
易知a、b、c里的素因数都只有2、3、5，于是有如下的素因数分解式：
a = 2R1·3S1·5T1
b = 2R2·3S2·5T2
c = 2R3·3S3·5T3
R1、R2、R3分别是a、b、c里的素因数2的个数，由题设知R1、R2、R3的取值均有6种（即0、1、2、3、4、5），且R1、R2、R3中至少有一个取最大值（即5）；
S1、S2、S3分别是a、b、c里的素因数3的个数，由题设知S1、S2、S3的取值均有2种（即0、1），且S1、S2、S3中至少有一个取最大值（即1）；
T1、T2、T3分别是a、b、c里的素因数5的个数，由题设知T1、T2、T3的取值均有2种（即0、1），且T1、T2、T3中少有一个取最大值（即1）。
用数学符号表示，即有如下三组约束关系：
max(R1,R2,R3) = 5，Ri ∈ N，Ri ≤ 5，i=1,2,3 ①
max(S1,S2,S3) = 1，Si ∈ N，Si ≤ 1，i=1,2,3 ②
max(T1,T2,T3) = 1，Ti ∈ N，Ti ≤ 1，i=1,2,3 ③
其中：max是最大值函数，N表示包含0的自然数集合。
用【a,b,c】表示满足 [a,b,c] = 25·3·5的所有排列，由上面的分析可知：
由a、b、c三个数组成的排列【a,b,c】和由满足①、②、③的R1、R2、R3、S1、S2、S3、T1、T2、T3九个数组成的排列具有一一对应关系，后者的一个排列可以用一个二重三元组（或一个3×3的矩阵）来表示，即{(R1,R2,R3), (S1,S2,S3), (T1,T2,T3)}，简记为Π。
在Π里，(R1,R2,R3)是由R1、R2、R3三个数组成的子排列，(S1,S2,S3)是由S1、S2、S3组成的子排列， (T1,T2,T3)是由T1、T2、T3组成的子排列。这三个子排列相互独立。
先求满足①的全体子排列(R1,R2,R3)的数目。由①知，R1、R2、R3都有6种取值，于是可以有6·6·6种排列，但其中会有5·5·5种不满足max(R1,R2,R3) = 5，所以实际满足①的全体子排列(R1,R2,R3)的数目为：
63-53=91
同样，可得满足②的全体子排列(S1,S2,S3)的数目和满足③的全体子排列(T1,T2,T3)的数目均为：
23-13=7
于是全体Π的数目，也就是【a,b,c】的数目为：
91·7·7 = 4459
步骤二：求【a,b,c】中三数互不相等的排列数
【a,b,c】里一定存在两数相等的排列，先考虑a=b的情形。按前面的符号标记法，这里要求的就是【a,a,c】。
与a=b等价的约束关系为：R1=R2，S1=S2，T1=T2
因此，可以略去R2、S2、T2，前述的①、②、③，相应简化为如下三组约束关系：
max(R1,R3) = 5，Ri ∈ N，Ri ≤ 5，i=1,3 ④
max(S1,S3) = 1，Si ∈ N，Si ≤ 1，i=1,3 ⑤
max(T1,T3) = 1，Ti ∈ N，Ti ≤ 1，i=1,3 ⑥
同样，由前述的a、b、c的素因数分解式可知，由a、c两个数组成的排列【a,a,c】和由满足④、⑤、⑥的R1、R1、R3、S1、S1、S3、T1、T1、T3六个数组成的排列具有一一对应关系，后者的一个排列可以用一个二重三元组（或一个3×3的矩阵）来表示，即{(R1,R1,R3), (S1,S1,S3), (T1,T1,T3)}，简记为Γ。
在Γ里，(R1,R1,R3)是由R1、R3两个数组成的子排列，(S1,S1,S3)是由S1、S3组成的子排列， (T1,T1,T3)是由T1、T3组成的子排列。这三个子排列相互独立。
由④知，R1、R3都有6种取值，于是可以有6·6种排列，但其中会有5·5种不满足max(R1,R3) = 5，所以实际满足④的全体子排列(R1,R1,R3)的数目为：
62-52=11
同样，可得满足⑤的全体子排列(S1,S1,S3)的数目和满足⑥的全体子排列(T1,T1,T3)的数目均为：
22-12=3
于是全体Γ的数目，也就是【a,a,c】的数目为：
11·3·3 = 99
而【a,a,a】的数目显然是1（即三个数都为480的一种排列），于是【a,a,c】(a≠c)的数目为：
99-1 = 98
同样，【a,b,a】(a≠b)以及【a,b,b】(a≠b)的数目均为98
于是【a,b,c】(a、b、c互不相等)的数目为：
4459-98·3-1=4164
步骤三：求满足[a,b,c] = 25·3·5的a、b、c的组合数
分三种情形考虑：
（1）a、b、c互不相等
此情形下，满足题设条件的组合数为：
4164 / 3! = 4164 / 6 = 694
（2）a=b=c
此情形下，满足题设条件的组合数为1
（3）a、b、c中恰有两数相等
此情形下，满足题设条件的组合数就等于【a,a,c】(a≠c)的数目，即98
综上，满足题设条件的组合数为694+1+98=793。
扩展分析：
如果把原题里的最小公倍数扩展为 p1u·p2·p3 （p1、p2、p3为互不相等的素数，u为正整数）的形式，解法一也可以同样应对（u=1时单独考虑）；但要是扩展为p1u·p2v·p3w （p1、p2、p3为互不相等的素数，u、v、w为正整数）的形式，就不好应对了。
而解法二的方法则更具通用性，即便最小公倍数扩展为 p1q1·p2q2·...·pkqk （p1、p2、...、pk为互不相等的素数，q1、q2、...、qk为正整数） 的形式，也一样能应对。
以最小公倍数为p1u·p2v·p3w 为例：（以下【...】表示对应排列的数目，〖...〗表示对应组合的数目）
【a,b,c】= [(u+1)3-u3]·[(v+1)3-v3]·[(w+1)3-w3]
【a,a,c】= [(u+1)2-u2]·[(v+1)2-v2]·[(w+1)2-w2]
【a,a,a】= 1
【a,b,c】(a≠b≠c) = 【a,b,c】- 3【a,a,c】+ 2
〖a,b,c〗= (【a,b,c】- 3【a,a,c】+ 2) / 6 + 【a,a,c】
最后这个式子对最小公倍数扩展为 p1q1·p2q2·...·pkqk （p1、p2、...、pk为互不相等的素数，q1、q2、...、qk为正整数） 的一般情形都是成立的。
