对一道拓展题的重新考虑

此前在 一道面积题的多种解法及多重拓展分析 里有一道拓展题没有给出明确解答。这两天采用解析几何方法经演算发现此前对QN的单调性做出了错误的判断。特在此处予以更正。

该拓展题如下：

拓展题6：点O为正三角形ABC的中心，AB边上取点M使得AM=2BM，连接MO并延长交AC于点T。动点N在AC边上由点T向点C移动，动线MN与OB、OC分别交于动点P和动点Q。在点N沿AC向下移动时，判断QN的单调特性。

解：在 一道面积题的多种解法及多重拓展分析 里已经证明 MT // BC，且有 MT:BC = 2:3，这里不再重复推导。

以点O为原点，OT为横轴，OA为纵轴， 设OT=1。则点M的坐标为(-1, 0)，点C的坐标为(3/2, -c/2)，为“书写”方便，这里用常量c指代sqrt(3)，即根号3。

再记点N的横坐标为1+p，易知TN=2p，且点N的纵坐标为-cp。由N在线段TC上移动，易知p∈(0, 1/2)。

由 M(-1, 0) 和 N(1+p, -cp)，有 MN: y=-cp(x+1)/(2+p)

由 O(0, 0) 和 C(3/2, -c/2)，有OC: y=-cx/3

于是可求得MN与OC的交点Q的坐标为(3p/(2-2p), -cp/(2-2p))。进而有

QN² = [1+p-3p/(2-2p)]² + [-cp+cp/(2-2p)]²

于是

4(1-p)²QN² = [2(1-p²) - 3p]² + 3p²·[1-2(1-p)]²

                  = 4(1+p⁴-2p²) + 9p² - 12(p-p³) + 3p²(2p-1)²

                  = 4 + 4p⁴ - 8p² + 9p² - 12p + 12p³ + 3p²(4p²-4p+1)

                  = 16p⁴ + 4p² - 12p + 4

即

(1-p)²·QN² = 4p⁴+p²-3p+1

验算p=0（N与T重合，Q与O重合）和p=1/2（N、Q均与C重合）的情形，分别得到QN=1和QN=0，符合预期。

记u = 4p⁴+p²-3p+1，v = (1-p)²

则u' = 16p³+2p-3, v' = 2p-2

u'v = (16p³+2p-3)·(p²-2p+1) = 16p⁵-32p⁴+16p³+2p³-4p²+2p-3p²+6p-3 = 16p⁵-32p⁴+18p³-7p²+8p-3

uv' = (4p⁴+p²-3p+1)·(2p-2) = 8p⁵-8p⁴+2p³-2p²-6p²+6p+2p-2 = 8p⁵-8p⁴+2p³-8p²+8p-2

于是 v²·(u/v)' = u'v-uv' = 8p⁵-24p⁴+16p³+p²-1

由 QN ≥ 0，知NQ²和NQ的单调性是一致的。记g(p) = 8p⁵-24p⁴+16p³+p²-1

g(0) = -1，再由g(p)/v²在区间[0,1/2]的连续性，可知QN在T点附近是单调递减的。由此便可知，此前对QN的单调性判断是错误的。

g(1/2)= 8/32-24/16+16/8+1/4-1 = 0，说明点C是QN单调性的一个拐点，同时还说明g(p)里有因式p-1/2。由整式除法可得

g(p) = 2(p-1/2)·(4p⁴-10p³+3p²+2p+1)

记f(p) = 4p⁴-10p³+3p²+2p+1。在区间 [0, 1/2)，(p-1/2)总是负值，那只要能证明 f(p) 在区间 [0, 1/2)总取正值，就能推定：当N由点T下滑到点C的整个过程，QN都是单调递减的。

f(p) = p(4p³-10p²+3p+2) + 1

记w(p) = -10p²+3p，这是个二次函数，其对应曲线是先升后降，由w'(p) = 3-20p，知w(p)在p=3/20时取得最大值，于是w(p)在区间[0,1/2]取得的最小值为

min(w(0), w(1/2)) = min(0, -1) = -1

于是在区间[0, 1/2]，总有4p³-10p²+3p+2 ≥ 1，即 f(p) ≥ p+1。

综上可知，当N由点T下滑到点C的整个过程，QN都是单调递减的。