求证：从1到100中任选51个不同整数，其中必然存在两个数满足一个数是另一个数的偶数倍

证：把1到100的整数按如下构造规则分成若干个集合：

（1）每个奇数m独立放到一个集合，该集合记作Sm；

（2）每个偶数n放到n/2所属的集合。

由这个规则，我们得到50个两两无交集的集合：S1、S3、……、S99，且1到100的每个整数属于其中某个集合。

不难发现，对于大于50的奇数m，集合Sm中只有m这一个数，如：S63={63}；而对于奇数m小于50的情形，集合Sm中包含的数多于一个，如：S13={13,26,52}。由上述的集合构造规则易知：从多于一个数的集合中任取两个数，这两个数必然满足一个数是另一个数的偶数倍。

 由题意可知，从1到100选取51个不同整数就等价于从上述50个集合中选取51个不同的数，由鸽巢原理知，必然要从某一个集合选取多于一个数，而从这个集合中选取出来的数中任取两个就符合一个数是另一个数的偶数倍的条件。证毕。