欧拉图、哈密尔顿图

p.s. 二者的必要条件是图为连通图

欧拉图

定义

欧拉通路：能一次性走完一张图上所有的边，且每条边只经过一次
欧拉回路：能一次性走完一张图上所有的边，每条边只经过一次，且这条路径构成一个回路（即最终回到了出发点）

有欧拉回路的图成为欧拉图（Eulerian），有欧拉通路但无回路的称为半欧拉图（semi-Eulerian）

欧拉回路必须满足的条件：

无向图：度数为奇数的点的个数 == 0 或者 == 2（== 0 ： 欧拉回路， == 2 ：欧拉通路）

有向图：除了起点和终点，每个点的入度 == 出度，满足 起点的出度-入度 == 1 && 终点入度-出度 == 1 或者 起点终点为同一个

思路

dfs。

首先需要确定dfs的起点，这可以通过输入边时统计度数实现，如果奇数度数的点不是0或2，则无欧拉通路；有两个奇数点的，找到其中一个点作为起点；度数全为偶数的，任意指定一个点作为起点。

然后开始dfs，每经过一条路时就把它的次数--，免得重复经过，当无路可走时，就存下当前的点（注意是逆序），回溯，继续遍历

模版题1

https://www.luogu.com.cn/problem/P2731

这题不仅要先判断，还要输出字典序最小的遍历序列，这里有坑。

关于为什么不能正序输出但可以倒序：

首先，在无向图中，如果有一条欧拉路，起点为 \(v\) ，用一个点 \(u\) 向已知起点 \(v\) 再连一条边，那么现在就有了从 \(u\) 出发的一条欧拉路。

倒序输出相当于，之前先找到了以 \(v\) 为起点的一条欧拉路，即先解决子问题，现在在它前面加入\(u\)

正序输出相当于，给你一个大问题，你没有解决子问题，但是先规定先从当前点出发，不能保证从当前出发能找到欧拉路的正确性

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 500 + 10;
int m, n = 500, u, v;
int rd[N], path[N][N];
int start = 1;
int cnt, ans[N];

void dfs(int u) {
    for(int i = 1; i <= 500; i++) {
        if(path[u][i]) {
            path[u][i]--;
            path[i][u]--;  //  有向图删掉
            dfs(i);
        }
    }
    ans[++cnt] = u;
}

int main() {  
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> u >> v;
        path[u][v]++; path[v][u]++;
        rd[u]++; rd[v]++;
    }
    for(int i = 1; i <= 500; i++) {
        if(rd[i] % 2) {
            start = i;
            break;
        }
    }
    dfs(start);
    for(int i = cnt; i >= 1; i--) cout << ans[i] << endl;
    return 0;
}

模版题2

https://www.luogu.com.cn/problem/P1341

感觉建图挺有意思的，可以自己先思考。

一对点对相当于给这两个字母连了一条无向边。

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 500 + 10;
int m, n = 500;
string s;
int rd[N], path[N][N];
int start;
int cnt, ans[N];

inline int chg(char ch) {
    return (int)(ch);
}

void dfs(int u) {
    for(int i = 1; i <= 200; i++) {
        if(i >= 'a' && i <= 'z' || i >= 'A' && i <= 'Z') {
            if(path[u][i]) {
                path[u][i]--;
                path[i][u]--;  //  有向图删掉
                dfs(i);
            }
        }
    }
    ans[++cnt] = u;
}

int main() {  
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> m;
    for(int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
        cin >> s;
        u = chg(s[0]); v = chg(s[1]);
        path[u][v]++; path[v][u]++;
        rd[u]++; rd[v]++;
    }
    int odd = 0;
    for(int i = 1; i <= 200; i++) {
        if(i >= 'a' && i <= 'z' || i >= 'A' && i <= 'Z') {
            if(rd[i] % 2) {
                odd++;
            }
        }
    }
    if(odd != 0 && odd != 2) {
        cout << "No Solution\n";
        return 0;
    }
    if(odd == 0) {
        for(int i = 1; i <= 200; i++) {
            if(rd[i]) {
                start = i;
                break;
            }
        }
    }
    else {
        for(int i = 1; i <= 200; i++) {
            if(rd[i] % 2) {
                start = i;
                break;
            }
        }
    }
    dfs(start);
    // cout << "cnt = " << cnt << endl; /// 
    for(int i = cnt; i >= 1; i--) cout << (char)ans[i];
    cout << '\n';
    return 0;
}

哈密尔顿图

定义

哈密尔顿路：经过一张图上所有的点的通路
哈密尔顿回路：经过一张图上所有的点的通回路

有哈密尔顿回路的图成为哈密尔顿图（Hamilton），有哈密尔顿通路但无回路的称为半哈密尔顿图（semi-Hamilton）