AcWing 1230. K倍区间

AcWing 1230. K倍区间

原题链接

视频讲解

思路

求区间的和为k的倍数的区间的个数。首先前缀和数组处理出来。

数据范围1e5，要想想O(n)或者O(logn)做法

将前缀和数组\(s[n]\)处理出来。

注意：
以i为右端点，长度为1的区间和为\(a[i]\)，即\(s[i]-s[i-1]\)
以i为右端点，长度为2的区间和为\(a[i-1]+a[i]\)，即\(s[i]-s[i-2]\)
...
以i为右端点，长度为i的区间和为\(a[1]+a[2]+...+a[i]\)，即\(s[i]-s[0]\)即\(s[i]\)

我们枚举以i为右端点的区间，我们观察以i为右端的区间长度为1,2,3，...，i-1,i的区间和，即前缀和数组表达出来是\(s[i]-s[i-1]、s[i]-s[i-2]、s[i]-s[i-3],...,s[i]-s[1],s[i]-s[0]\)这些个值。

某个区间和为k的倍数：
比如\([i-1,i]\)这个区间\(s[i] - s[i-1] \equiv 0 \, (mod \, k)\)，s[i]-s[i-1]是k的倍数，所以\(s[i]-s[i-1]\)与\(0\)模\(k\)同余。
所以有\(s[i] \equiv s[i-1] \, (mod \, k)\)
所以找模k余数相同的数的个数即可，使用哈希表来存储。

每个s[i]记录到哈希表\(cnt[s[i] \, mod \,k]\)

关于边界：s[0]也要去统计进哈希表 即需要先cnt[0] ++(以i为右端点，长度为i的区间)。

代码

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;

int n,k;
LL s[N],cnt[N]; 

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) 
    {
        cin >> s[i];
        s[i] += s[i-1];
    }
    
    LL res = 0;
    cnt[0] ++;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        res += cnt[s[i] % k];
        cnt[s[i] % k] ++;
    }
    cout << res;
    
    return 0;
}