货币系统2

acwing 532. 货币系统

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/534/

思路

阅读理解

noip、csp的题先从题中找性质，然后去写

观察样例，不难发现，先给a排序，如果前面的某些个数能够组成后面的数，就把后面的数删掉，得到的就是最优解。(比赛或考试的时候，如果实在证不出来，可以尝试去写了，总比罚座好)

严谨解法：

题中可以发现如下三个性质：

性质1：a1,a2...an可以被b1,b2...bm表示出来。
	因为b可以表示a所表示的所有数，所以b一定能表示a,即a[j]=t[i]*b[i]+t[i+1]*b[i+1]...
性质2：b1,b2,...,bm不能被其他bi表示出来
	因为m最小，就要找最大独立集（{3,10}是{3,6,10,19}的最大独立集）
性质3：在最优解中，b1,b2,b3...bm一定都是从a1,a2,a3...an中选择出来的
	反证法证明：假设bi不在a1~an中，bi可以由某些个a表示出来：bi=a1+a2+a3,且bi>a1、a2、a3中的任意一个。a1~an可以由b表示出来，所以bi=t1*b1+t2*b3+...，bi又用b表示出来了，不是最优解了就，所以不成立

最优解是从a中产生的，如果a[i]能被a[1~i-1]表示出来，那么就不选，否则就选。

最后选出的就是解。

注意此题只要不能表示出来就一定要选，并不是贪心，只是一个模拟过程。

具体做法

将a从小到大排序

然后筛一遍，如果ai能被凑出来就不要，否则就res ++

dp分析

f[i][j]
状态表示
    集合：f[i][j]表示从前i个选，和为j的方案是否存在。(f[][0] = 1)
    属性：bool值，存在就为true，不存在就为false
状态转移
    f[i][j]
    f[i][j]  = f[i-1][j] | f[i-1][j- k*a[i]] => f[j] |= f[j-a[i]]
边界
    f[][0] = true

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 25010;
int a[N];
bool f[N];
int t,n;

int main()
{
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        cin >> n;
        for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> a[i];
        sort(a+1,a+n+1);
        
        memset(f,0,sizeof f);
        int res = 0;
        int m = a[n]; // 和最大值
        f[0] = true;
        
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            if(!f[a[i]]) res ++;
            for(int j = a[i];j <= m;j ++)
                f[j] |= f[j-a[i]];
        }
        
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}