快速幂,快速幂求逆元
快速幂
可以快速求在O(log \(k\))复杂度下出 \(a^{k}\)mod \(p\) 的结果($1\leq a,p,k\leq 10^{9} $)
如果是n组数据，时间复杂度就是O(\(n * log k\))
基本思路
1.先预处理出来\(a^{2^{0}},a^{2^{1}},...,a^{2^{logk}}\)这k个数
2.将\(a^{k}\)用\(a^{2^{0}},a^{2^{1}},...,a^{2^{logk}}\)这k个数来组合,即组合出\(a^{k}\) = \(a^{2^{x1}}*a^{2^{x2}}*...*a^{2^{xt}}\) = \(a^{2^{x1}+2^{x2}+...+2^{xt}}\)
ps: 为什么 \(k\) 可以用 \({2^{0}},{2^{1}},{2^{2}},...{2^{logk}}\) 中的数凑出来?
答: \(2^{{log_{2}}k} = k\) 所以一定可以凑出k
如何组合出\(a^{k}\)
将k看成二进制形式
如果最后一位为1则乘上当前位的权，并将权乘个a倍变成下一个位的权
例子：凑\(a^{5}\),5写为二进制为101
1.最后一位为1，此位权为\(a^{2^{0}}\),res = 1*\(a^{2^{0}}\)，将权改成a倍变成下一位权\(a^{2^{1}}\)，将二进制数101最后一位去掉变成二进制数10
2.最后一位为0，此位权为\(a^{2^{1}}\),res = 1*\(a^{2^{0}}\)不变，将权改成a倍变成下一位权\(a^{2^{2}}\)，将二进制数10最后一位去掉变成二进制数1
3.最后一位为1，此位权为\(a^{2^{2}}\),res = 1*\(a^{2^{0}} * a^{2^{2}}\)，将权改成a倍变成下一位权\(a^{2^{3}}\)，将二进制数10最后一位去掉变成二进制数1
所以 res = \(a^5\) 就可以计算出来
所以步骤就是,只要b不为0
如果b的二进制最后一位为1则res乘上当前权
权变为原来平方
b最后一位去掉
注意
凡是中间结果可能会溢出的地方，都要特殊处理:
1.快速幂的结果都要开long long,快速幂计算过程中res和权要开long long
2.可能溢出的地方(res、权)都要取模
代码
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL qmi(int a,int b,int p)
{
LL res = 1 % p;
while(b)
{
if(b & 1) res = res * a % p;
a = (LL)a * a % p; // 这里要开LL
b >>= 1;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n --)
{
int a,b,p;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
printf("%lld\n",qmi(a,b,p));
}
return 0;
}
快速幂求逆元
欧拉定理与费马小定理
欧拉定理:若\(a\)与\(p\)互质，则\(a^{\varphi (p)}\equiv1\: mod (p)\)
费马小定理:若\(p\)为质数，则\(a^{p-1}\equiv1\: mod (p)\)
互质：如果两个数的公约数只有1，则这两个数互质
思路
此题给了p一定为质数，就用欧拉定理推论费马小定理来求逆元即可
\(a / b ≡ a * x(mod\: m)\)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元
两边同乘b得 \(a ≡ a * b * x(mod\: m)\)
即\(1 ≡b * x(mod\: \: m)\)
同\(b * x ≡ 1(mod\: m)\)
若b和m互质 是 存在(b模m的)乘法逆元x 的充要条件。
由费马小定理得 \(b^{m-1} ≡ b * x ≡ 1(mod\: m)\),因此 $x = b^{m-2} $
题中给定a、p其中p为质数，求a模p的乘法逆元。
分为两种情况：
1.如果a和p互质，有\(a^{p-1} ≡ 1 mod(p)\)，所以答案为 \(a^{p-2}\)
2.如果a和p不互质，不存在逆元
那么求\(a^{p-2}\)使用快速幂即可
代码
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL pmi(int a,int k,int p) // a^k mod p
{
LL res = 1 ;
while(k)
{
if(k&1) res = res * a % p;
a = (LL) a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
while(n --)
{
int a,p;
scanf("%d%d",&a,&p);
if(a % p == 0) puts("impossible"); // p为质数,a<p必然互质，a>p只要不是p的倍数必然互质
else printf("%lld\n",pmi(a,p-2,p));
}
return 0;
}
