快速幂,快速幂求逆元

快速幂

acwing875.快速幂

可以快速求在O(log $k$)复杂度下出 $a^{k}$mod $p$ 的结果($1\leq a,p,k\leq 10^{9}$)

如果是n组数据，时间复杂度就是O($n * log k$)

基本思路

1.先预处理出来$a^{2^{0}},a^{2^{1}},...,a^{2^{logk}}$这k个数
2.将$a^{k}$用$a^{2^{0}},a^{2^{1}},...,a^{2^{logk}}$这k个数来组合,即组合出$a^{k}$ = $a^{2^{x1}}*a^{2^{x2}}*...*a^{2^{xt}}$ = $a^{2^{x1}+2^{x2}+...+2^{xt}}$

ps: 为什么 $k$ 可以用 ${2^{0}},{2^{1}},{2^{2}},...{2^{logk}}$ 中的数凑出来?
答: $2^{{log_{2}}k} = k$ 所以一定可以凑出k

如何组合出$a^{k}$

将k看成二进制形式

如果最后一位为1则乘上当前位的权，并将权乘个a倍变成下一个位的权

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例子：凑$a^{5}$,5写为二进制为101

1.最后一位为1，此位权为$a^{2^{0}}$,res = 1*$a^{2^{0}}$，将权改成a倍变成下一位权$a^{2^{1}}$，将二进制数101最后一位去掉变成二进制数10

2.最后一位为0，此位权为$a^{2^{1}}$,res = 1*$a^{2^{0}}$不变，将权改成a倍变成下一位权$a^{2^{2}}$，将二进制数10最后一位去掉变成二进制数1

3.最后一位为1，此位权为$a^{2^{2}}$,res = 1*$a^{2^{0}} * a^{2^{2}}$，将权改成a倍变成下一位权$a^{2^{3}}$，将二进制数10最后一位去掉变成二进制数1

所以 res = $a^5$ 就可以计算出来

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所以步骤就是,只要b不为0
	如果b的二进制最后一位为1则res乘上当前权
	权变为原来平方
	b最后一位去掉

注意

凡是中间结果可能会溢出的地方，都要特殊处理:

1.快速幂的结果都要开long long,快速幂计算过程中res和权要开long long

2.可能溢出的地方(res、权)都要取模

代码

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a,int b,int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL)a * a % p; // 这里要开LL
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    while(n --)
    {
        int a,b,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
        printf("%lld\n",qmi(a,b,p));
    }
    
    return 0;
}

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快速幂求逆元

acwing876.快速幂求逆元

欧拉定理与费马小定理

欧拉定理:若$a$与$p$互质，则$a^{\varphi (p)}\equiv1\: mod (p)$

费马小定理:若$p$为质数，则$a^{p-1}\equiv1\: mod (p)$

互质：如果两个数的公约数只有1，则这两个数互质

思路

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此题给了p一定为质数，就用欧拉定理推论费马小定理来求逆元即可

$a / b ≡ a * x(mod\: m)$，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元
两边同乘b得 $a ≡ a * b * x(mod\: m)$
即$1 ≡b * x(mod\: \: m)$
同$b * x ≡ 1(mod\: m)$

若b和m互质 是 存在(b模m的)乘法逆元x 的充要条件。
由费马小定理得 $b^{m-1} ≡ b * x ≡ 1(mod\: m)$,因此 $x = b^{m-2}$

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题中给定a、p其中p为质数，求a模p的乘法逆元。
分为两种情况：
1.如果a和p互质，有$a^{p-1} ≡ 1 mod(p)$，所以答案为 $a^{p-2}$
2.如果a和p不互质，不存在逆元

那么求$a^{p-2}$使用快速幂即可

代码

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL pmi(int a,int k,int p) // a^k mod p
{
    LL res = 1 ;
    while(k)
    {
        if(k&1) res = res * a % p;
        a = (LL) a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n --)
    {
        int a,p;
        scanf("%d%d",&a,&p);
        if(a % p == 0) puts("impossible"); // p为质数,a<p必然互质，a>p只要不是p的倍数必然互质
        else printf("%lld\n",pmi(a,p-2,p));
    }
    
    return 0;
}