概率论复习纲要
概率论复习纲要
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第一章
全概率公式：
\[P(A) = P(A | B_1 )P(B_1) + P(A | B_2 )P(B_2) + \dots + P(A | B_n )P(B_n)
\]
贝叶斯公式：
\[\begin{aligned}
P(B_i|A) & = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum^n_{j=1}P(A | B_j )P(B_j) }
\\
& = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)} \space \space i = 1,2, \dots , n
\end{aligned}
\]
相互独立： \(P(AB) = P(A)P(B)\)
-
A，B相互独立： \(\{A，\bar B\}\)、\(\{\bar{A}, B\}\)、\({\bar{A},\bar{B}}\)也相互独立。
-
多事件相互独立： \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)
-
伯努利概型：表示n次实验中某一事件恰好发生k次。
\[P_n(k)=C^k_nP^kq^{n-k},\space k=0,1,2,\dots,n \]
第二章
带参数 关于概率密度
两点分布，0-1分布：\(X\sim b(1, p)\)
二项分布：\(X\sim b(n, p)\)，
\[P\{X=k\}= C^K_np^kq^{n-k}, \space k=0,1,2,\dots,n
\]
泊松分布：
\[P\{X = k\} = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, \space k=0,1,2,\dots
\]
$ \lambda = np \(, 记\)X \sim \pi(\lambda)$ $
分布函数：\(F\{x\} = P\{X\le x\}\)
密度函数：
\[f(x)=\lim_{\Delta\rightarrow 0^+}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta\rightarrow 0^+}\frac{P\{x<X<x+\Delta x\}}{\Delta x}
\]
均匀分布： \(X\sim u(a, b)\),
\[f(x) = \left\{ \begin{aligned}
\frac{1}{b-a}& , \space a < x < b,
\\
0& , \space 其它
\end{aligned} \right.
\]
指数分布： \(X\sim E(\lambda)\)
\[f(x) = \left\{ \begin{aligned}
\lambda e^{-\lambda x}&, \space a<x<b,
\\
0&,\space 其它
\end{aligned} \right.
\]
正态分布：\(X\sim N\{\mu, \sigma^2\}\),
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
反三角函数的导数：
\[\begin{aligned}
&(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}\\
&(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}\\
&(arctanx)'=\frac{1}{(1+x^2)}\\
&(arccotx)'=-\frac{1}{(1+x^2)}\\
\end{aligned}
\]
第三章
边缘概率密度：\(f_X(x), f_Y(y)\)
\[\left \{ \begin{aligned}
f_X(x) &= \int^\infty_{-\infty}f(x,y)dy
\\ \space
\\
f_Y(y) &= \int^\infty_{-\infty}f(x,y)dx
\end{aligned} \right.
\]
条件概率密度：\(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)
X，Y相互独立：
\[F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \rightarrow f(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y)
\]
正态分布：
\[\begin{aligned}
&(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\\
&f(x,y) \begin{aligned} =&
\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma\sqrt{1-\rho^2}}\cdot \exp\big\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\cdot\\&\big[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \\&\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma^2_2}\big]\big\},\space -\infty<x,y<+\infty
\end{aligned}\\
&f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}},\\
&f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}}\\&
若X和Y相互独立，则\rho=1
\end{aligned}
\]
第四章
数学期望： \(E(X) = \int^{\infty}_{-\infty}xf(x)dx\)
数学期望性质：
- \(E(C) = C\)
- \(E(CX) = CE(X)\)
- \(E(X+Y) = E(X) + E(Y)\)
- X、Y相互独立：\(E(XY) = E(X)E(Y)\)
方差：\(D(X) = EX^2 - (EX)^2\)
方差性质：
- \(D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y)\)
- \(D(CX) = C^2D(X)\)
- \(D(X+C)=D(X)\)
分部积分：
\[\begin{aligned}
d(uv) &= udv + vdu
\\
udv &= d(uv) + vdu
\end{aligned}
\]
反对幂指三：
\[\int^b_audv=uv|^b_a - \int^b_avdu
\]
协方差：\(cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)\)
协方差性质：
- \(cov(aX, bY)= ab\space cov(X,Y)\)
- \(cov(X_1+X_2, Y)=cov(X_1, Y)+cov(X_2, Y)\)
相关系数： \(\rho_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\cdot\sqrt{D(Y)}}\)
