随机变量的数字特征小复习

离散型随机变量的数学期望：

\[EX = \sum{x_kp_k} \]

连续型随机变量的数学期望：

\[EX = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \]

泊松分布的参数 $\lambda$ 就是其数学期望

随机变量函数的数学期望

$X$ 是随机变量，$Y = g(X)$ 为单调函数或连续函数

X 是离散型随机变量，且 $g(x_k)$ 收敛：

\[EY = E[g(X)] = \sum^{\infty}_{k=1}g(x_k)p_k \]

X 是连续型随机变量，且 $g(x)$ 收敛：

\[EY = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx \]

(X, Y)为二维随机变量，$z=g(x,y)是连续函数

(X, Y)是离散型随机变量，且求和结果不为无穷：

\[EZ = E[g(X, Y)] = \sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=1}g(x, y)p_{ij} \]

连续型：

\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x, y)dxdy \]

数学期望的性质：

C 为常数，有

\[EC = C \]

C 为常数，X 为随机变量，有

\[E(CX) = CEX \]

X,Y 为任意的随机变量，则

\[E(X+Y) = EX + EY \]

X 和 Y 是相互独立的随机变量，有

\[E(XY) = EX \cdot EY \]

方差概念

X 是随机变量，且 $E(X-EX)^2$ 存在，即方差。

\[DX = E(X - EX)^2 \]

X 是离散型随机变量

\[DX = \sum^\infty_{k=1}(x_k - EX)^2p_k \]

连续型

\[DX = \int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f(x)dx \]

通用公式：

\[DX = EX^{2} - (EX)^{2} \]

方差的性质

C 为常数，X、Y 是两个随机变量
(1) $DC = 0$
(2) $D(CX) = C^2DX$
(3)

\[D(X+Y) = DX+DY {\pm} 2E(x-EX)(Y-EY) \]

若X 和 Y 相互独立：
$D(X\pm Y) = DX + DY$
(4) $DX \leq E(X-C)^2$，
当且仅当 $ C = EX$ 时，$E(X-C)^2$ 取得最小值 DX。
(5) $DX = 0$的充要条件是 $P{X = C} = 1

协方差

\[\begin{aligned} cov(X, Y) &= E(X = E)(Y - EY) \\ &= E(XY) - EX \cdot EY \end{aligned} \]

性质

$cov(X,Y) = cov(Y, X)$
$cov(aX, bY) = ab\space cov(X, Y)$
$cov(X_1 + X_2, Y) = cov(X_1, Y) + cov(X_2, Y)$
X, Y相互独立， cov(X, Y) = 0

RCKLOS

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