高等数学（11） —— 曲线积分与曲面积分
I don’t think that anybody can grow unless he really is accepted exactly as he is.
一个人除非真正接受自己，否则他没法成长。
0.高等数学（11） —— 曲线积分与曲面积分
后台有二重积分和三重积分懵了的疑问，只是我最近有点…忙，本文顺便说一下个人理解吧。
（竟然有人会认真看笔记）
0.目录
1. 高等数学（10）补充1.1 二重积分和三重积分的区别2. 对弧长的曲线积分2.1 对弧长的曲线积分理解2.2 小段直线ds的理解2.3 不用t的曲线积分3. 对坐标的曲线积分3.1 对坐标的曲线积分的理解4. 格林公式4.1 格林公式的理解4.2 平面上曲线积分与路径无关的条件5. 对面积的曲面积分5.1 对一个曲面5.2 对面积的曲面积分的理解5.3 对多面体的曲面积分5.4 对坐标的曲面积分
1. 高等数学（10）补充
1.1 二重积分和三重积分的区别
有两种理解方法，但个人比较好理解【质量问题】。
质量问题的理解：
二重积分：
- 已知一个曲面S的形状，以及面中每一个点的密度f(x,y)，求这个面的质量M。
- 设每个点的面积为ds = dxdy，则每个点的质量dM：
(dxdy可以理解为超级小的四边形底x高） - 整个面的质量就是对所有点的质量积分
三重积分：
- 已知一个空间几何体的形状，以及集合体中各点的密度f(x,y,z)，求这个几何体的质量M。
- 设每个点的体积为dv = dxdydz，则每个点的质量dM：
（dxdydz可以理解为超级小的长方体底x高x宽） - 整个几何体的质量就是对所有点的质量积分：
2. 对弧长的曲线积分
2.1 对弧长的曲线积分理解
理解它的意义还是用质量问题来说。
- 已知一条连续曲线弧L的形状，以及线上每一小段直线的密度f(x,y)，求这条曲线的质量M
- 设线上每一小段直线的长度为ds，则每小段直线的质量dM：
(课本上的ds我真的是理解为长度) - 则整条曲线弧的质量为对所有小段直线的积分：
2.2 小段直线ds的理解
在课本上，也是直接给了这个
这个可以用高中的运动学理解：
- 装备着滑翔机的小明被力大无比的小红从教学楼楼顶水平抛出。
(专业技能，勿模仿) - 最终小明飞行的时间为t，飞行的水平距离为X，垂直高度为Y。
- 飞行时小明的水平速度和竖直速度：
- 根据三角形法则，在任意的t时刻，小明的飞行速度
- 速度微分：
2.3 不用t的曲线积分
只提供公式。
3. 对坐标的曲线积分
凡是说到【对坐标】，统统按第二类处理。
3.1 对坐标的曲线积分的理解
导数有偏导数，积分你能否想想"偏积分"呢？
4. 格林公式
出现了！描边大师！
这是二重导用曲线积分计算的公式。
4.1 格林公式的理解
- 曲线做功
高中时就有两种写法：
- 积分法：
这样来看： - 面积法：力所做的功数值上等于曲线与坐标轴所围成图形的面积。
注意格林公式的是闭合曲线的积分，我们高中时计算的线积分，是因为物体沿曲线运动后并没有沿坐标轴运动回来，所以物体沿坐标轴不做功，总功即物体沿曲线上所做的功。
所以必须是闭区域的边界曲线，应试时一般情况题目都是二重导用曲线积分求，曲线积分转回二重导来求。总之有图就好求了。
4.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
这里可以用4.1的理解来看，可以理解为：
电荷在匀强电场中运动，如果运动轨迹为闭合曲线，则其做功为零。
二元函数全微分求积略。
5. 对面积的曲面积分
5.1 对一个曲面
5.2 对面积的曲面积分的理解
将曲面投影到xOy中，该投影作为xy的平面区域，而z则作为z(x,y)高度函数计算二重重导。
一投二代三计算，投dxdy。
5.3 对多面体的曲面积分
分多个曲面积分计算，然后叠加。
5.4 对坐标的曲面积分
就是第二类曲面积分。
一投二代三计算，三次投，分别投（dydz,dzdx,dxdy)
