高等数学（9） —— 多元函数微分法及其应用
A man's feet should be planted in his country, but his eyes should survey the world.
一个人应该立足本土，放眼世界。
高等数学（9） —— 多元函数微分法及其应用
这章内容很多，但其实能用上的也不是很多。
复习向笔记不可能面面俱到，咱这也不是懒对吧（嗯）
因为不需要涉及得很深入。
目录
1. 多元函数的基本概念1.1 平面点集 n维空间1.2 n维空间1.2 多元函数的概念1.3 多元函数的极限2. 偏导数2.1 偏导数的定义及其计算法2.2 高阶偏导数3. 全微分4. 多元复合函数的求导法则5. 隐函数的求导公式6. 多元函数的微分学应用7. 方向导数与梯度7.1 方向导数8. 多元函数的极值及其求法8.1 多元函数的极值及最大值与最小值8.2 条件极值 拉格朗日乘数法
1. 多元函数的基本概念
1.1 平面点集 n维空间
平面点集： 平面直角坐标系上的点所一一对应的有序二元实数组（x,y)
内点： 去心邻域的点都被指定点集所包含。
外点： 去心邻域的点都没被指定点集包含。
边界点： 任意去心邻域的点都存在不被点集包含和被点集包含的点。
聚点： 去心邻域内的点总有被指定点集包含。
开集： 所有点都是内点的点集。
闭集： 包含了边界点的点集。
连通集： 集内任意两点都可以用折现连接，且折线上所有点都在集内。
区域： 连通的开集，指开区域。
闭区域： 包含边界点的区域。
有界集： 能被更大的点集包含的点集。
无界集： 不存在比它更大的点集。
1.2 n维空间
多少维就多少个元。
1.2 多元函数的概念
多元函数：定义域定义在n维空间的点集上的函数。
1.3 多元函数的极限
其实说的还是二元函数。
概念与一元函数的极限极其类似，只是从一元的数值变成了二元的点，但二元函数的极限叫二重极限。
求极限主要还是得知道怎么算才行。
利用等价无穷小计算极限
2. 偏导数
需要记住：
极限存在 ➡ 连续
可微 ➡ 偏导存在
偏导连续 ➡ 可微
2.1 偏导数的定义及其计算法
官方定义见课本，偏导就是只对一个元素变量进行求导，如在二元函数中，将y视为常量，然后针对x求导，即该二元函数对x偏导，记：
例：
2.2 高阶偏导数
官方定义见课本，高阶偏导数就是给偏导函数再偏n次导。
混合偏导数： 偏n次导的过程中，存在对不同的元素偏导。
3. 全微分
定义见课本
偏导存在且连续即可微(充要)，计算时常写：
4. 多元复合函数的求导法则
看看一元复合函数函数，
类比二元复合函数，
5. 隐函数的求导公式
隐函数求导公式：
6. 多元函数的微分学应用
主要还是看看空间曲线切向量和曲面法向量。
曲线切向量：
曲面法向量：
7. 方向导数与梯度
7.1 方向导数
导数一般只能描述变化的快慢，也能理解为只是标量，但导数数乘上一个方向向量，就可以描述某一方向的变化快慢了，将已知点的数值代入这个导数则叫作函数的梯度，其实就是各个偏导带入值所成的，形如：
方向导数：
三元函数的方向导数也是这样的格式。
8. 多元函数的极值及其求法
8.1 多元函数的极值及最大值与最小值
极值一定是驻点。
没有排版不代表不掌握。
8.2 条件极值 拉格朗日乘数法
本节最后“条件极值与拉格朗日乘数法”只要求了解
知道“拉格朗日乘数法”的作用是求“条件极值”
—— 下课。
