为什么要用补码？

我们都知道计算机中的负数是用补码来表示的，而负数的补码是原码符号位不变，其他位按位取反再加一。但是为什么必须这样？为什么非要取反再+1？这个定义是怎么来的？

首先我们用我们熟悉的十进制来思考问题，假设现在我们只考虑两位数字的运算，比如56 + (-28) = 56 - 28，这里如果作正常的减法运算，就需要借位，也就是先让"6"减去"8"的时候，发现不够减，所以要向高位“借一位”，所以"5"只能借一位给“6”，然后“5”变成“4”，这样的“借位规则”如果用电路来实现，会很复杂（至于如何用电路实现，感兴趣的同学可以去看《Code》的一到十二章)，但幸运的是我们有办法来避免这样的借位：

56 + (-28) = 56 - 28 + 99 - 99       //加99再减99表达式值不变
           = 56 - 28 + 99 + 1 - 100  //把-99写成1 - 100
           = (99 - 28 + 1) + 56 - 100  //交换一下位置         

如上面最后一步所示，如果按照其从左到右的顺序依次运算，是完全不需要借位的，这里的99其实可以看成“两位数字能表示的最大的数值“，如果是三位数字，那就是999。最后在减去100之前，其实已经”溢出“了，这时候只要把最高位舍去就行了。

换到二进制也是一个道理，假设我们只能用八位数字来表示一个数值，那么上面的28写成二进制就是00011100，然后我们要用“八位数字能表示的最大的数值”减去它，就是11111111 - 00011100，这时候你会发现，这样做的结果刚好就是00011100全部都取反一下（0变1,1变0），变成11100011，然后再加一变成11100100，这时候再加上56（也就是二进制的00111000）:

   11100100
+  00111000
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  100011100

然后把结果中多出来的一位最高位舍去，就得到了00011100，也就是十进制的28（56 - 28 = 28）！

写到这里我想大家应该已经明白了，只要把-28（二进制的-00011100）用72（二进制的11100100）来表示，就能直接用加法得到正确结果了。这也是为什么负数的符号位是1的原因，因为，比如用八位二进制来表示一个数值，如果要包含负数的话，那我们只能舍弃一半原来的正数，让这部分正数来表示负数，很自然地我们用“更大的那一半”来表示负数，比如原来可以表示0到256，现在我们就把128到256“分给负数”，剩下的0到127继续表示正数（如果用128到256来表示正数，0到127表示负数，那么0到127和-127到0这部分数值就没人表示了）。所以，“一串01”在计算机中到底表示几，还得看它能不能表示负数。