背包笔记 (一) 01背包
看《编程之美》第1.6个问题饮料供货问题,本质上还是背包问题。对于背包问题继续进行一个总结
参考资料:《背包九讲》
问题一:01背包问题,基本问题,核心问题
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
采用滚动数组优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..V],
能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时
(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],
这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。
在《算法竞赛入门经典》上称为滚动数组优化方法
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。
而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
初始化细节注意问题:
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
例如《编程之美》饮料供应问题就是要求恰好填满
简单01背包应用实例,
poj 3624
#include <iostream> #include <vector> #include <map> #include <list> #include <set> #include <deque> #include <stack> #include <queue> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cctype> #include <cstdio> #include <iomanip> #include <cmath> #include <cstdio> #include <iostream> #include <string> #include <sstream> #include <cstring> #include <queue> using namespace std; ///宏定义 const int INF = 990000000; const int MAXN = 15000; const int maxn = MAXN; ///全局变量 和 函数 int N, V; int w[maxn], d[maxn]; int f[maxn]; int main() { ///变量定义 while (scanf("%d%d", &N, &V) != EOF) { memset(f, 0, sizeof(f)); for (int i = 0; i < N; i++) { scanf("%d%d", &w[i], &d[i]); } for (int i = 0; i < N; i++) { for (int v = V; v >= w[i]; v--) { f[v] = max(f[v], f[v - w[i]] + d[i]); } } printf("%d\n", f[V]); } ///结束 return 0; }