【SNOI2017 DAY1】礼物
Problem
定位：二项式定理+矩阵乘法
设\(S_i=A_1+A_2+...+A_i\)
则\(A_i=S_{i-1}+i^K,S_i=S_{i-1}+A_i=2S_{i-1}+i^K\)
发现，这是一个递推式，而\(n \leq 10^{18}\)，不难想到用矩阵去优化转移。
现在难点在于\((i+1)^K\)如何通过\(i\)转移而来，不难通过二项式定理
\((i+1)^K=\sum C_{n-k}^{k} i^k \times 1^{n-k}\)
所以可以构造出一下矩阵：
\[\begin{gathered}
\begin{pmatrix}
S_i & n^K & n^{K-1} & n^{K-2} & ... & n^0
\end{pmatrix}
\quad
\end{gathered}
\times
\begin{gathered}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & C & 0 & 0 & 0 & ...\\
0 & C & C & 0 & 0 & ...\\
... & \\
\end{pmatrix}
\quad
\end{gathered}
\]
C代指二项式定理各项系数（其实就是杨辉三角）
\(code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
int N;
struct Matrix{
ll x[12][12];
Matrix(){for(int i=0;i<N;i++) for(int j=0;j<N;j++) x[i][j]=0;}
};
inline Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
Matrix c;
for(int i=0;i<N;i++) for(int j=0;j<N;j++) c.x[i][j]=0;
for(int i=0;i<N;i++){
for(int j=0;j<N;j++){
for(int k=0;k<N;k++){
c.x[i][j]=(c.x[i][j]+a.x[i][k]*b.x[k][j]%mod)%mod;
}
}
}
return c;
}
ll n;
int k;
Matrix A,B;
Matrix ksm(Matrix x,ll y){
Matrix res;
for(int i=0;i<N;i++) res.x[i][i]=1;
while(y){
if(y&1) res=res*x;
x=x*x;
y>>=1;
}
return res;
}
int main(){
cin>>n>>k;
N=k+2;
for(int i=1;i<N;i++) A.x[0][i]=1;
B.x[0][0]=2,B.x[1][0]=1;
for(int i=N-1;i>=1;i--){
B.x[N-1][i]=1;
for(int j=N-2;j>=i;j--)
B.x[j][i]=B.x[j+1][i+1]+B.x[j][i+1];
}
A=A*ksm(B,n-1);
Matrix C=A*B;
printf("%lld\n",(C.x[0][0]-A.x[0][0]+mod)%mod);
return 0;
}
