学习笔记——费用流

费用流，也称最小/大费用最大流，在费用流问题中，每条边会的权值是个二元组（容量，费用），其中费用表示的是每流过一单位的水所耗费的费用，即一条边的总费用为流量$\times$费用。 而通常，费用流问题会让你解决在满足最大流情况下的最小/大费用。

因为是求最小/最大费用，于是我们可以考虑用最短路算法（由于可能会有负权费用，所以推荐用SPFA）来找增广路，记录下路径，然后增广即可。

例题：【线性规划与网络流24题 17】运输问题

源点向每个仓库建边（容量：$a_i$，费用：$0$），每个商店向汇点建边（容量：$b_i$，费用：$0$），每个仓库向每个商店都建一条边（容量：$\infty$，费用：$c_{i,j}$），然后跑最小费用最大流即可。

对于最大费用最大流，可以将费用变成它的相反数，最后答案再取相反数即可。

$code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 100 + 5;
const int MAX_V = 200 + 5;
const int MAX_M = 30000 + 5;
const int inf = 1e9;
int Flow,Cost,dis[MAX_V],inq[MAX_V],pre[MAX_V];
int n,m,S,T,a[MAX_N],b[MAX_N],c[MAX_N][MAX_N];
int Last[MAX_V],End[MAX_M<<1],Next[MAX_M<<1],len[MAX_M<<1],cost[MAX_M<<1],tot;
inline void addedge(int x,int y,int z,int co){
	End[++tot]=y,Next[tot]=Last[x],Last[x]=tot,len[tot]=z,cost[tot]=co;
	End[++tot]=x,Next[tot]=Last[y],Last[y]=tot,len[tot]=0,cost[tot]=-co;
}
inline bool spfa(){
	for(int i=1;i<=T;i++) dis[i]=inf,pre[i]=0;
	dis[S]=0;
	queue<int> q;
	inq[S]=1;
	q.push(S);
	while(q.size()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		inq[x]=0;
		for(int i=Last[x];i;i=Next[i]){
			int y=End[i];
			if(len[i] && dis[y]>dis[x]+cost[i]){
				dis[y]=dis[x]+cost[i];
				pre[y]=i;
				if(!inq[y]){
					q.push(y);
					inq[y]=1;
				}
			}
		}
	}
	int f=inf;
	if(dis[T]==inf) return false;
	for(int i=T;i!=S;i=End[pre[i]^1]) f=min(f,len[pre[i]]);
	for(int i=T;i!=S;i=End[pre[i]^1]) len[pre[i]]-=f,len[pre[i]^1]+=f;
	Flow+=f,Cost+=f*dis[T];
	return true;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			scanf("%d",&c[i][j]);
	tot=1;S=n+m+1,T=S+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) addedge(S,i,a[i],0);
	for(int i=1;i<=m;i++) addedge(i+n,T,b[i],0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			addedge(i,j+n,inf,c[i][j]);
	while(spfa());
	printf("%d\n",Cost);
	tot=1;S=n+m+1,T=S+1;
	Flow=0,Cost=0;
	memset(Last,0,sizeof(Last));
	for(int i=1;i<=n;i++) addedge(S,i,a[i],0);
	for(int i=1;i<=m;i++) addedge(i+n,T,b[i],0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			addedge(i,j+n,inf,-c[i][j]);
	while(spfa());
	printf("%d\n",-Cost);
	return 0;
}