学习笔记——拓展欧几里得

拓展欧几里得(exgcd)

在已知整数\(a,b\)情况下求\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组整数解\(x,y\)

证明\(ax+by=gcd(a,b)\)：（如何求x,y）

设\(ax_1+by_1=gcd(a,b)\)，则\(bx_2+(a \bmod b)y_2=gcd(b,a \bmod b)\)
因为\(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)
所以\(ax_1+by_1=bx_2+(a \bmod b)y_2\)
\(ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - (a/b)\times b)y_2\)
\(ax_1 + by_1 = bx_2 + ay_2 - ((a/b) \times b)y_2\)
\(ax_1 + by_1 = ay_2 + b(x_2-(a/b) \times y_2)\)
所以\(x_1=y_2,y_1=(a/b) \times y_2\)
以此类推，\(x_i,y_i\)的值可以由\(x_{i+1},y_{i+1}\)得来，且每层都在做类似于辗转相除法的操作，于是我们可以在求\(gcd\)的时候，顺便计算\(x,y\)的值，当\(ax+by=a\)时，\(x=1,y=0\)

\(code:\)

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1,y=0;return a;}
    int x2,y2;
    int Gcd=exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x1=y2,y1=x2-a/b*y2;
}

扩欧应用 不定方程

对于不定方程\(ax+by=c\)，讨论整数解

对于\(ax+by=gcd(a,b)\)，一定有解

设\(d=gcd(a,b)\)，若\(a \bmod d = 0,b \bmod d = 0\)，则\(gcd(a,b)\bmod d = 0\)，即\((ax+by) \bmod d = 0\)

所以如果\(ax+by=c\)有解，则\(c \bmod d = 0\)，否则无解

当\(c \bmod d = 0\)时，可以通过\(exgcd\)求出\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组解\(x',y'\)，则方程原来的一组解为\(x=x' \times c / d,y = y' \times c / d\)

而原方程的解有无穷多组，因为依然满足下列式子：
\(a(x + kb)+b(y-ka)=c\)，\(k\)为整数

于是通解为\(x = x' \times c/d + k \times b / d,y = y' \times c /d - k \times a /d\)

扩欧应用 解模线性方程

求关于\(x\)的同余方程\(ax \equiv 1 \pmod b\)的最小正整数解

\(ax \equiv 1 \pmod b => ax \bmod b = 1 => ax - by = 1\) \(y\)为整数

根据前面定理，\(ax-by=gcd(a,b)\)，又因为\(1\)必须能整除\(1/gcd(a,b)\)，所以\(gcd(a,b)\)一定等于\(1\)

用\(exgcd\)处理即可

那么如何求解：\(ax \equiv b \pmod n\)

\(a \equiv b \pmod n\)含义是\(a\)和\(b\)在\(\bmod n\)意义下同余，即\(a \bmod n = b \bmod n\)

\(a \equiv b \pmod n\)充要条件为\(a-b\)是\(n\)的整数倍，即\(a-b = kn\)，\(k\)为正整数

这样，\(ax \equiv b \pmod n => ax-b=ky => ax-ky=b\)

这是一个二元一次不定方程，用\(exgcd\)即可解决。

扩欧应用 乘法逆元

求乘法逆元，可以用费马小来解决，但是模数只能是质数的局限让他在有些题无法使用，我们可以用\(exgcd\)来求乘法逆元

\(ax \equiv 1 \pmod n\)的解\(x\)称为\(a\)在模\(n\)意义下的乘法逆元

通过之前的讨论，我们知道不定方程\(ax-ny=1\)要有解，\(a\)才存在逆元

所以\(1\)必须是\(gcd(a,n)\)的倍数，因为\(a,n\)要互质，即\(gcd(a,n)=1\)

在\(gcd(a,n)=1\)的前提下，\(ax \equiv 1 \pmod n\)只有唯一解。

\(code:\)

int inv(int a,int n){
    int x,y;
    if(exgcd(a,n,x,y)==1) return (x%n+n)%n;
    return -1;
}