浅谈点灯游戏O(n^3)算法

点灯游戏（POJ1681/NKOJ P1987）

很显然的高斯消元，将\(n \times n\)的矩阵弄成一行，对其相邻格子的系数为1即可(\(a[i][j]\)表示点\(i\)号格子,\(j\)号格子是否受到影响），最后解方程即可。

NKOJ P8530 手机游戏 超级版

题意同NKOJ P1987，只不过数据范围从\((1 \leq n \leq 40)\)到了\((1 \leq n \leq 1000)\)

一眼不可做，直接用P1987的做法时间复杂度为\(O(n^6)\)，不可行

考虑到只有\(0/1\)取值，用\(bitset\)优化常数，依然不可行

继续考虑暴力做法，假设我们已经确定了第一行点了哪些格子，我们可以推出\(2-n\)行每行的状态（点或不点）

即对于第\(i\)行的'#'，通过\(i+1\)的点击使其变成'.'，这时候对于\(i+1\)行无法再继续点击（不然维护的\(i\)行不再合法），那么对于\(i+1\)行的'#'，只能通过点击\(i+2\)行消掉，以此类推，直到得到最后一行无法被消除的状态。

说的简单一点就是对于第\(i\)行，通过只点第\(i\)行的方式让\(i-1\)行全部为'.'，当讨论完后，\(1\) 到 \(i-1\) 全都是'.'

举个例子：

对于以下这个矩阵
.##
.#.
...

讨论点击第2行，修改第1行
点击（2,2）
..#
#.#
.#.

点击（2,3）
...
##.
.##
此时第1行已全被消除，考虑第2行

点击（3,1）
...
.#.
#.#

点击（3,2）
...
...
.#.

第2行也被消完，此时第3行还剩下一个无法被消除

显然，做完上述操作后，整个矩阵除了最后一行，其他一定是'.'

回到原题，题目是要求出给定矩阵使其全部熄灭的具体点击方案

我们发现在确定第一行状态后，我们可以推出其余行的状态（保证已经讨论过的行为熄灭）

那么从一个全熄灭状态转移到一个矩阵状态，等效于将这个矩阵全部熄灭，所以我们对于题目给出的矩阵跑一遍上述的过程，得到最后一行状态。

接着我们思考，这个东西有什么用？发现，如果一空矩阵点击了一些点后，最后一行状态（其余行全部为熄灭）等于了题目给定矩阵的最后一行状态，则这些点击的点被点后，可以将目标矩阵消完（也可以理解成
将空矩阵点成目标矩阵）

为了接下来的表述，我们把目标矩阵求的的最后一行设为\(A[...]\)

发现了以上特征后，我们开始考虑在全灭矩阵上如何使得点一些点让最后一行状态等于\(A[]\)

因为已经发现第一行的状态就可以决定最后一行，那么我们考虑枚举第一行状态，\(O(2^n)\)，一样炸裂（好像炸的跟裂了）

于是怎么办呢？（我白银你问我？GG）

其实很简单 （毒瘤），我们慢慢来，先讨论只点1个的情况，很简单对吧，直接点，然后往下讨论就行了，那么如果点2个呢，也很简单，可以看成先点1个，再点1个，对于重复了的部分就相当于没点，这个操作是不是有点像异或？那么对于点\(k\)个点，最后一行的状态就是把这\(k\)个点单独的状态异或起来，就完了，是不是很简单。

于是，我们可以\(O(n^3)\)预处理出每个位置点击后最后一行的\(B[]\)状态，发现时间复杂度有点过分，但只有\(0/1\)取值，bitset优化即可

接着就是如何找出选出第1排的那些点，可以使得\(B[]\)异或之和等于\(A[]\)

发现单独列之间的影响是独立的，即\(A[j]\)只会受到\(B[][j]\)的影响，与其他列无关，可以看成方程组。

考虑高斯消元

把状态数组竖着摆放成为方程矩阵，\(x_i\)的值表示第1行\(i\)号点是否需要点击，矩阵的值即为系数

接着解一个异或方程组就完事了

时间复杂度\(O(n^3/64)\)，完全跑得过