学习笔记——最短路径树

最短路径树

定义

顾名思义，最短路径树就是最短路径构成的树，也就是说，从根节点$a$到节点$b$的最短路为原图上$a$到$b$的最短路径。

dijkstra找最短路径树

在dijkstra找最短路时，记录每个节点是被哪一条边所指向的，而dijkstra相当于将$n-1$个点与起点$S$合并到一个集合，故会选择$n-1$条边，保证是棵树（或森林）。

$Q1:$如果求最短路径树计数呢？
$A1:$很简单，只需要在$dis[y]==dis[x]+len[i]$的时候处理即可。

$Q2:$如果要求输出路径（经过的边）呢？
$A2:$也很简单，只需要对每个节点开个$vector$记录即可。

$code：$（伪代码）

priority_queue<node> q;
void dijkstra(int s){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf,mark[i]=0;
	q.push((node){s,0});
	dis[s]=0;
	while(q.size()){
		int x=q.top().num;
		q.pop();
		if(mark[x]) continue;
		mark[x]=1;
		for(int i=Last[x];i;i=Next[i]){
			int y=End[i];
			if(dis[y]>dis[x]+len[i]){
				dis[y]=dis[x]+len[i];
				v[y].clear();
				cnt[y]=0;
				v[y].push_back(id[i]);
				cnt[y]++;
				q.push((node){y,dis[y]});
			}
			else if(dis[y]==dis[x]+len[i]){
				cnt[y]++;
				v[y].push_back(id[i]);
			}
		}
	}
}

count=1;
for(int i=2;i<=n;i++) count*=cnt[i];