[算法竞赛入门经典]5.4.4多少块土地——欧拉定理

原题：有一块椭圆的地，你可以在边界上选n个点，并两两连接得到n(n-1)/2条线段。它们最多能把土地分成多少个部分？

解：

最优方案是不让三条线段交与1点。

欧拉公式：V-E+F=2.

其中V是顶点(即所有线段的断点数加上交点数),E是边数（即n段椭圆弧加上这些线段被切成的段数），F是面数（即土地块数加上椭圆外那个无穷大的面）。

换句话说，只需求出V和E，答案就是E-V+1；

不管是定点还是边，计算时都要枚举一条从固定点出发(所以最后要乘以n)的所有对角线。假设该对角线左边有i个点，右边有n-2-i个点，则左右两 边的点两两搭配后在这条对角线上形成了i*(n-2-i)个焦点，得到了i*(n-2-i)+1条线段。注意：每个交点被重复计算了4次，而每条线段被重 新计算了两次，因为形成每个交点需要4个点两两组成2条线段相交于一点，需要2个点形成1条被分割的线段。所以得：

如果将n=1~5的答案写出来得：1、2、4、8、16.可能就会推出n=6时是32，但是不是的，而是31，因此找规律的时候要谨慎！

以上为书上原文（为了图方便复制了http://www.cnblogs.com/hsqdboke/archive/2012/04/29/2476128.html的内容）

刚看到这道题很自然的认为是一道高中数学题，但后来想要复杂的多。因为结点V，实际上类似于动态生成的，所以很难归纳V_n与V_n-1的关系。

为什么求V的公式中要除以4？

看图：

我已经非常简单易懂的讲解了为什么一个点重复算了四次的问题。线段为什么算两次同理可证～

下面是Code：

#include<stdio.h>
int main()

{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int v = 0, e = 0;
    for (int i = 0; i <= n-2; i++)
        v += i * (n - 2 - i), e += i * (n - 2 - i) + 1;
    v = v * n / 4 + n;
    e = e * n / 2 + n;
    printf("%d\n", e-v+1);
    return 0;
}