乘法群
1.整数模 n 乘法群:在同余理论中,模 n 的互质同余类成一个乘法群,称为整数模 n 乘法群。
2.循环群:设(G,*)为一个群,若存在一G内的元素g,对属于G的任意x,都存在整数k,使x = g^k ,称(G,*)为循环群,g为群的生成元。若存在最小正整数n,使得g^n=e,称n为生成元的阶(e为幺元,即g^0)。
以模7乘法群{1,2,3,4,5,6}举例:
定义运算 a☆b =a*b mod 7:
(
以下g^n不是普通乘法运算中n次幂的概念,而是关于运算☆的n次幂,即n个g进行☆运算:
g^4=g☆g☆g☆g=(((g*g mod 7)*g mod 7)*g mod 7)
)
生成元的阶:
1 =3^0 = 3^6 则 3 是6阶生成元;
1 =3^0 = 5^6 则 5 是6阶生成元;
群中的元素是这样生成的:
对于生成元3:
1 = 3^0 =3^6;
2 = 3^2 ;
3 = 3^1;
4 = 3^4 ;
5 = 3^5 ;
6 = 3^3 ;
对于生成元5:
1 = 5^0 = 5^6 ;
2 = 5^4 ;
3 = 5^5 ;
4 = 5^2 ;
5 = 5^1 ;
6 = 5^3 ;