机器学习（三）：朴素贝叶斯＋贝叶斯估计+BP人工神经网络习题手算|手工推导与习题计算

1.有 1000 个水果样例. 它们可能是香蕉，橙子或其它水果，已知每个水果的 3 种特性:是否偏长、是否甜、颜色是否是黄色

类型	长	不长	甜	不甜	黄色	非黄	Total
香蕉	400	100	350	150	450	50	500
橙子	0	300	150	150	300	0	300
其它	100	100	150	50	50	150	200
Total	500	500	650	350	800	200	1000

根据上表数据，分别利用朴素贝叶斯分类和贝叶斯估计方法，对一个（长，甜，黄色）水果进行识别，判断该水果属于：香蕉，橙子或其它水果哪一类？

解：

条件一致，舍去分母，加上分母可以将 正比于 替换为 等号

\(P(长,甜,黄色)=P(长,甜,黄色∣香蕉)×P(香蕉)+P(长,甜,黄色∣橙子)×P(橙子)+P(长,甜,黄色∣其他水果)×P(其他水果)\)

朴素贝叶斯分类方法：

\(P(香蕉 | 长，甜，黄色)\propto P(长 | 香蕉) * P(甜 | 香蕉) * P(黄色 | 香蕉) * P(香蕉)=\frac{400}{500}\times \frac{350}{500}\times \frac{450}{500}\times \frac{500}{1000}=0.0252\)

\(P(橙子 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 橙子) * P(甜 | 橙子) * P(黄色 | 橙子) * P(橙子)=\frac{0}{300}\times \frac{150}{300}\times \frac{300}{300}\times \frac{300}{1000}=0.0\)

\(P(其它 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 其它) * P(甜 | 其它) * P(黄色 | 其它) * P(其它)=\frac{100}{200}\times \frac{150}{200}\times \frac{50}{200}\times \frac{200}{1000}=0.01875\)

直接选择最大概率值就好了，即根据朴素贝叶斯分类，该水果属于香蕉.

贝叶斯估计方法：

设平滑参数\(a\)为1,其中特征可能数\(k\)都为2

\(P(香蕉 | 长，甜，黄色)\propto P(长 | 香蕉) * P(甜 | 香蕉) * P(黄色 | 香蕉) * P(香蕉)=\frac{400+1}{500+2}\times \frac{350+1}{500+2}\times \frac{450+1}{500+2}\times \frac{500}{1000}=0.025089\)

\(P(橙子 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 橙子) * P(甜 | 橙子) * P(黄色 | 橙子) * P(橙子)=\frac{0+1}{300+2}\times \frac{150+1}{300+2}\times \frac{300+1}{300+2}\times \frac{300}{1000}=0.0\)

\(P(其它 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 其它) * P(甜 | 其它) * P(黄色 | 其它) * P(其它)=\frac{100+1}{200+2}\times \frac{150+1}{200+2}\times \frac{50+1}{200+2}\times \frac{200}{1000}=0.01875\)

结果依然不变，即根据朴素贝叶斯估计，该水果属于香蕉.

解析：

首先，我们需要使用贝叶斯定理计算在给定（长，甜，黄色）水果的情况下，该水果属于每个类别的概率。由于在这个问题中每个特征是二元的（要么是，要么不是），因此我们可以使用朴素贝叶斯分类方法。对于一个测试水果，我们需要计算以下每个类别的条件概率，从而确定它最可能属于哪个类别：

\(P(香蕉 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 香蕉) * P(甜 | 香蕉) * P(黄色 | 香蕉) * P(香蕉)\)

\(P(橙子 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 橙子) * P(甜 | 橙子) * P(黄色 | 橙子) * P(橙子)\)

\(P(其它 | 长，甜，黄色) \propto P(长 | 其它) * P(甜 | 其它) * P(黄色 | 其它) * P(其它)\)

其中\(P(类别)\)是每个类别的先验概率，可以通过将对应行中的总数除以总样本数进行计算。例如，对于香蕉类别，\(P(香蕉) = 500/1000 = 0.5\).

而条件概率\(P(特征 | 类别)\)可以通过对应的条目计算，例如对于“长”特征和香蕉类别，\(P(长 | 香蕉)= 400/500 = 0.8\)。

因此，对于一个（长，甜，黄色）水果，每个类别的朴素贝叶斯得分如下：

类别	香蕉	橙子	其它
得分	0.25200	0.00000	0.01875

因此，该水果最有可能属于香蕉类别。

然而，朴素贝叶斯分类方法受极端数据点的影响较大，因此我们可以使用贝叶斯估计方法来缓解这种情况。具体来说，对于每个类别的每个特征，我们可以引入一个小的平滑参数进行修正。假设平滑参数为a，那么对于任意特征x和类别y，我们可以按照以下方式计算条件概率：

\(P(x | y) = \frac{count(x, y) + a}{count(y) + a * NumPossibleValues(x)}\)

其中，\(count(x, y)\)是在y类别下x特征的计数。\(count(y)\)是y类别的样本总数，\(NumPossibleValues(x)\)是x特征可能的取值，即2。

选择a的值通常是根据经验确定的，但在这里我们可以使用a = 1。

使用贝叶斯估计方法进行相同的分类，我们得到以下朴素贝叶斯估计得分表：

类别	香蕉	橙子	其它
得分	0.25089	0.00049	0.01887

在这种情况下

附录：

朴素贝叶斯分类是基于贝叶斯定理的一种分类算法，它假设各个特征之间相互独立，因此被称为“朴素”。

朴素贝叶斯分类的计算流程如下：

1. 准备训练数据集，包括特征和对应的类别标签。

2. 计算每个类别出现的概率 \(P(Y)\)，并计算每个特征在每个类别下的概率 \(P(X_i|Y)\)，即给定类别 \(Y\) 的条件下，每个特征 \(X_i\) 出现的概率。

3. 对于一个新的样本，计算其属于每个类别的条件概率 \(P(Y|X)\)，即在给定特征 \(X\) 的情况下，属于类别 \(Y\) 的概率。根据贝叶斯定理，有：

   \(P(Y|X) = \frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}\)

   其中，\(P(X|Y)\) 是根据训练数据估算出的在类别 \(Y\) 下特征 \(X\) 出现的条件概率，\(P(Y)\) 是训练数据中类别 \(Y\) 出现的概率，\(P(X)\) 是特征 \(X\) 的边缘概率，可以通过\(P(X)=\sum_{Y}P(X|Y)P(Y)\)计算得到。

4. 根据上述公式计算每个类别下给定样本的条件概率，确定样本所属的类别。

如果给出的是多个特征，朴素贝叶斯分类的计算方式和单个特征相同，只是需要将所有特征的条件概率相乘。

具体来说，设一个样本的特征向量为 \(X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，其中 \(n\) 是特征的数量。朴素贝叶斯模型假设特征之间相互独立，因此可以将样本属于类别 \(Y\) 的条件概率表示为：

\[P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}=\frac{P(Y)\prod_{i=1}^{n}P(X_i|Y)}{P(X)} \]

其中，\(P(Y)\) 是类别 \(Y\) 出现的概率，可以通过训练集中出现类别 \(Y\) 的样本数占总样本数的比例进行估计；\(P(X_i|Y)\) 是给定类别 \(Y\) 的条件下特征 \(X_i\) 出现的概率，可以通过训练集中出现类别 \(Y\) 且特征 \(X_i\) 出现的样本数占出现类别 \(Y\) 的样本数的比例进行估计。

\(P(X)\) 是特征向量 \(X\) 的边缘概率，可以通过对所有可能的类别 \(Y\) 进行求和得到：

\[P(X)=\sum_{Y}P(Y)\prod_{i=1}^{n}P(X_i|Y) \]

然后，将计算得到的 \(P(Y|X)\) 按照概率从大到小排序，通常选择概率最大的类别作为样本所属的类别。

贝叶斯估计方法，也称为拉普拉斯平滑（Laplace smoothing），是贝叶斯分类器中一种常用的平滑方法。它的主要思想是对于没有在训练数据中出现过的特征值，仍然分配一个非零的概率值，以避免在计算概率时出现分母为零的情况。

具体来说，设某个特征在训练数据集中出现的次数为 \(N\)，特征的可能取值个数为 \(k\)，则在贝叶斯估计中，我们将原本的频率估计公式 \(P(X = x_i|Y = y_j) = \frac{N_{i,j}}{N_j}\) 改为：

\(P_{\text{smooth}}(X = x_i|Y = y_j) = \frac{N_{i,j} + \alpha}{N_j + \alpha k}\)

其中，\(N_{i,j}\) 表示在训练数据集中，特征 \(X = x_i\) 且标签 \(Y = y_j\) 的样本数，\(N_j\) 表示标签为 \(Y = y_j\) 的样本数，\(\alpha\) 是一个平滑参数，通常取值为 1。这样，在计算未出现过的特征值的概率时，分子仍然为 1，分母不为零，从而避免了出现无法计算的情况。

贝叶斯估计方法的优点是可以有效地避免过拟合，提高模型的泛化能力。但是，在实际应用中，由于使用了额外的参数 \(\alpha\)，需要进行参数调整，否则可能会影响模型的表现。

2.以公式$ f(x) = tansig(x)$ 为激活函数，求BP网络输出层和隐含层的权重调整公式

解：

对于一个三层神经网络，输入层称为i，隐含层称为j，输出层称为k.

当激活函数为\(f(x)=tansig(x)=Tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)时

其导数为\(f^{\prime}(x)=1-f(x) ^2\)

之前bp神经网络推导的结果，对于输出层：

\[E = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { L } ( y _ { k } - O _ { k } ) ^ { 2 } \]

\[\Delta w_{j k}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{j k}}=-\eta \frac{\partial E}{\partial I_{k}} \frac{\partial I_{k}}{\partial w_{j k}}=-\eta \frac{\partial E}{\partial I_{k}} O_{j}=\eta \delta_{k} O_{j} \]

现在我们需要求\(\delta_{k}\)的值

\[\delta _ { k } = - \frac { \partial E } { \partial O _ { k } } \frac { \partial O _ { k } } { \partial I _ { k } } \]

考虑到输出层的第k个节点的输入和输出的关系为：\(O_k=f(I_k)\)

有

\[\frac { \partial E } { \partial O _ { k } } = - ( y _ { k } - O _ { k } ) \]

\[\frac { \partial O _ { k } } { \partial I _ { k } } = f ^{\prime}( I _ { k } )=1-f(I_k)^2=1-O_k^2 \]

所以

\[\delta_k=(1-O_k^2)(y_k-O_k) \]

因此，隐含层到输出层的连接权值的修正公式为：

\[\Delta w _ { j k } = n \delta _ { k } O _ { j } = \eta O _ { j } ( 1 - O _ { k } ^2) ( y _ { k } - O _ { k } ) \]

对于隐含层：

\[\Delta w _ { i j } = - \eta \frac { \partial E } { \partial w _ { i j } } = - \eta \frac { \partial E } { \partial I _ { j } } \frac { \partial I _ { j } } { \partial w _ { i j } } = \eta \delta_j O_i \]

\[\delta _ { j } = - \frac { \partial E } { \partial I _ { j } } = - \frac { \partial E } { \partial O _ { j } } \frac { \partial O _ { j } } { \partial I _ { j } } \]

有

\[\frac{\partial E}{\partial O_{j}}=\sum_{k=1}^{L} \frac{\partial E}{\partial I_{k}} \frac{\partial I_{k}}{\partial O_{j}}=\sum_{k=1}^{L} \frac{\partial E}{\partial I_{k}} \frac{\partial}{\partial O_{j}}\left(\sum_{j=0}^{M}\left(w_{j k} O_{j}\right)\right)=-\sum_{k=1}^{L} \delta_{k} w_{j k} \]

考虑到输出层的第k个节点的输入和输出的关系为：\(O_j=f(I_j)\)

\[\frac{\partial O_{j}}{\partial I_{j}}=f ^ \prime \left(I_{j}\right)=1-f\left(I_{j}\right)^2=1-O_{j}^2 \]

那么：

\[\delta _ { j } = ( 1 - O _ { j }^2 ) \sum _ { k = 1 } ^ { L } \delta _ { k } w _ { jk } \]

因此，输入层到隐含层的连接权值的修正公式为：

\[\Delta w_{i j}=\eta \delta_{j} O_{i}=\eta O_{i}\left(1-O_{j}^2\right) \sum_{k=1}^{L} \delta_{k} w_{j k} \]