Kalman滤波

卡尔曼是匈牙利当代著名数学家，Kalman滤波器源自于他的博士毕业论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理方法，它是一个时域滤波器，是通过对时域上包含噪声的有限测量数据，计算出最接近实际值的方法。这里说它是一种递归的估计，是指只要获得上一时刻的状态值以及当前的状态观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。既然是一个时域滤波器，也就无需像低通滤波器那样，需要在频域进行滤波器设计而需要再转换到时域来实现。卡尔曼滤波器的典型应用是从一组包含噪声的对无物体位置的观察序列中预测出物体的位置坐标和速度，它的核心内容是5个计算公式，然而，仅仅给出5个计算公式显得过于抽象，不便于理解。这里，为了更加形象、更容易地理解卡尔曼滤波器，我给出网上摘取的一个例子来一步一步探索卡尔曼滤波器的原理。

一、举例说明卡尔曼滤波器的原理（该例子转载自网络）
假设被研究对象是某个房间内的温度（当然，这里假设该房间内各处的温度是相等的，房间内不存在空调、风扇、暖气等局部发热或散热的设备）。根据生活经验，你认为这个房间内的温度是恒定的。即，下一时刻的温度等于当前时刻的温度。但是，你的生活经验并不是绝对的准确，所以，你确信自己对房间内温度的估计存在上下几度的偏差。这个偏差在这里假设是高斯白噪声的，即：偏差跟时间没有关系而且是服从高斯分布的。另外，在房间内放置一个温度计，用于测量房间内的温度。但是，由于制造工艺等因素，温度计的测量值也不是绝对准确的，即：温度计的测量值与真实值之间也存在一定的偏差，这个偏差也假设是高斯白噪声的。那么，对于任意时刻，我们可以得到该房间的两个温度值：你根据生活经验得到的估计值（系统的预测值）和温度计的测量值（系统的测量值）。下面我们用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算k时刻的实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。

（1）因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度。（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）

（2）然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的协方差比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把协方差递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的协方差。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值。

二、卡尔曼滤波器的数学模型

讨论卡尔曼滤波器就不得不提离散控制过程的系统。

对于一个离散控制过程的系统而言，可用一个线性随机微分方程来描述：

X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

系统的测量值：

Z(k)=H X(k)+V(k)

上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统

状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……… (1)

式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：

P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：

X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：