摘要
本节在前两节（树的旋转，2-3-4树）的基础上，讨论红黑树的性质及实现。
初识红黑树
简介
通过对2-3-4树的分析，我们认识到其直接实现比较复杂，时间开销可能会比普通BST更大。因而我们通过对普通BST增加一些信息，实现2-3-4树。这里采用的一种高效的方法，就是红黑树。基本思想是在每个结点中添加一个额外的颜色信息用来表示3-和4-结点。我们将链接看成两种不同的类型：红链接用于绑定3-和4-结点组成的小二叉树，黑链接用于绑定2-/3-/4-结点组成二叉树。如图：3-结点表示为由一个红链接连接的两个2-结点，4-结点表示为由两个红链接连接的三个2-结点。
在任何树中，每个节点（除了根节点）都有一个链接指向它，因而对节点着色等价于对链接着色。我们注意到：3-节点有两种表示形式，这个留给红黑树作为宽容度，根据情况选择合适的3-节点表示法。虽然我们可以使得3-结点向同一个方向偏斜，但没有充分理由支持我们这样做。
如果消除红黑树中的红链接，并合并被捆绑的结点，我们就可以得到一棵2-3-4树，如图：
可以看到，红黑树非常出色地表达出2-3-4树的结构。通过合并红节点，将得到相同的2-3-4树。
因而我们得到了红黑树的基本性质：1）BST的标准搜索过程不需修改就可以直接使用；2）红黑树直接与2-3-4树对应，因而只要维护这种对应关系，就可以实现平衡2-3-4树算法。
通过红黑树，我们得到了两种结构的优点：标准BST的简单搜索过程和2-3-4树简单的插入-再平衡过程。应当注意到，搜索过程不会检查结点颜色，因而平衡机制不会增加基本搜索的时间开销。
出于完备性考虑，我们抛开2-3-4树结构，再来分析红黑树，可以得到如下性质（CLRS p163）：
1）每个结点非红即黑；
2）根节点为黑；
3）所有NULL结点（叶节点）为黑；
4）红结点的两个子节点均为黑；
5）对于每个结点，从该节点到其子孙结点所有路径上，包含的黑结点数目相同。
引理：一棵具有n个内节点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。
2-3-4树节点分裂与红黑树的表示
见图就行了，没什么好讲的：
红黑树的插入
先来看之前2-3-4树插入序列在红黑树中的表现，可以看到插入完成后我们得到了与2-3-4树一样的结果。
红黑树的插入是复杂的。插入例程包括两个部分：首先将结点按照普通BST插入过程插入到红黑树中，然后调用另外一个维护过程来维护被破坏的红黑树性质。需要注意的是插入时，我们默认将新节点作为红色结点插入。
接下来就要分析哪些红黑树的性质可能被破坏。根据上文列出的五点性质，显而易见性质1）和3）不会被破坏。性质5）也不会破坏，因为我们插入的是红色结点，不会影响黑高度。因而被破坏的性质只有2）根节点为黑色，和4）不能有两个连续的红结点。首先我们给出红黑树插入例程的代码，然后针对代码进行分析：
/*红黑树插入代码*/
代码1~15行的while循环维持下列循环不变式，通过证明不变式，我们便可以证明红黑树性质得以维护：在循环的每一次迭代开始时：
a) 结点z是红色；
b) 如果z->parent是根，则z->parent为黑色；
c) 如果有红黑树性质被破坏，至多只有一个被破坏，并且只有可能是2)或者4)。如果违反性质2)，则因为z是根并且z是红色；如果违反性质4)，则因为z和z->parent都是红色。
在这段不变式中，我们注意到c)部分是用来处理和维护红黑树性质，是不变式的关键。a)和b)提供了有意义的帮助信息。证明不变式的意义在于它能向我们需要的结果逐步推进。在这里，每次迭代会有两种可能的结果：指针z沿树上移，或者执行旋转后循环结束。
初始化：第一次迭代开始前，我们有一棵正确的红黑树，新增红色结点z。因而调用维护过程时，
a) z就是新增结点，为红色；
b) 如果z的父节点是根，则必定是黑色；
c) 红黑树性质1) 3) 5)必定保持。如果性质2)被破坏，则新增结点z为根，由于只有当树为空时z才会被插入至根，因而性质4)不会被破坏；如果性质4)被破坏，则只有可能是z和其父节点为红色，此时根结点必定为黑色。因而也只破坏性质4。
终止：循环结束是因为z->parent为黑，所以循环结束时性质4)不会被破坏。唯一可能被破坏的性质2)，所以当循环结束后会设置根为黑色维护性质。因而所有红黑性质都得了维护。
保持：循环过程中共计有6种情况，除去镜像有3种情况，由第2行确定z的父节点z->parent是其祖父节点z->parent->parent的左孩子还是右孩子而定。可以证明z的祖父节点存在，因为根据不变式，如果z的父节点是根部，则为黑色，而只有父节点为红色才进入循环，因此z的父节点不可能是根，所以z的祖父节点存在。
三种情况的区别在于z的父亲的兄弟（叔叔）结点颜色而有所不同。第3行使y指向z的叔叔结点，即z->parent->parent->right，并在第四行测试叔叔的颜色。y为红色进入情况1，否则执行情况2或3。在所有情况中，z的祖父都一定是黑色的。因为z的父亲是红色，根据性质，祖父节点不能为红。
情况1)：z的叔叔y为红色。
只有z->parent和y都是红色结点时，才会执行情况1)。换句话说，当我们将新节点z，连接到一个4-节点时，执行情况1)。因而我们将4-结点分裂处理该问题。z指针上移两层，进入下一轮循环。如图：
我们需要通过证明循环不变式来证明这一步的正确性：
设z为当前迭代中的结点z，z' = z->parent->parent表示下一次迭代时新的z。
a) 因为这次迭代分裂了4-结点，z'一定是一个3-或4-结点，所以z'一定是红色。
b) 此次操作没有修改根节点颜色，因而会继续保持黑色。
c) 显然性质1) 3) 5)得以保持，并且此次操作维护了性质4)。下一轮迭代时，如果z'为根，则有且仅有性质2)被破坏，如果z'不为根，则当z'->parent为红色时，有且仅有性质4)被破坏。
情况2)：z的叔叔y是黑色，z是右子节点。
情况3)：z的叔叔y是黑色，z是左子结点。
这两种情况下，相当于将新节点插入到一个3-结点上。这个行为本没有问题，不会破坏2-3-4树性质，但根据规定4-结点为一个黑结点左右用红链接捆绑两个结点，因而这是一个修复4-结点表达形式的过程。情况2可以通过一次单旋转，转换到情况3，进而进行维护。如图：
因为这个过程并不存在节点分裂，因而完成此步维护后退出循环，整棵红黑树已经维护完毕。
接下来证明循环不变式，为这一步提供更坚实的理论基础：
a) 情况2让z指向红色的z->parent，在情况2) 3)中，z的颜色不再改变。
b) 情况3)令z->parent变成黑色，如果下一次迭代时z->parent为根，则它是黑色的。
c) 性质1) 3) 5)不受影响。在这两种情况中，z都不是根，根颜色不受影响，性质2)不被破坏。并且性质4)在此过程中得以维护。
于是我们证明了在所有情况下循环不变式都会得以保持，因而也证明了这一过程能够正确维护红黑树性质。
运行时间分析：我们选择红黑树的目的就在于通过简单的方式实现2-3-4树，因而有必要分析红黑树插入时间。跟普通BST一样，含n个结点的红黑树高度为lgn，因而插入过程耗时O(lgn)，在维护过程中，如果一路全是4-结点，那么就需要一直分裂到根结点，while执行的总次数就可能是O(lgn)。所以总耗时O(lgn)。值得一提的是，红黑树最多进行两次旋转，因为只有情况2)3)会需要旋转，而旋转完毕后，就退出循环完成维护了。
红黑树中删除结点
和其他操作一样，对一个节点删除需要O(lgn)的时间。与插入操作相比，删除操作极为复杂，一般情况下推荐懒惰删除。
Todo Here.
/*红黑树删除代码*/
