摘要
本文主要讨论的内容包括：BST的性质以及基本操作分析。
作为最基本的数据结构，二叉查找树（后文记为BST）本身不仅易于理解，代码精简，而且通过添加不同的特性，可以实现许多高级的数据结构，例如：添加颜色信息，升级为红黑树；添加高度和平衡信息，升级为AVL树；更改节点数量，成为2-3-4树等更为复杂的数据结构。而正如其名，BST及其变种在搜索领域有不可替代的作用。
二叉查找树概览
二叉查找树的特点及解释
在BST上执行的基本操作与树的高度成正比。对于一棵含n个节点的完全二叉树（perfect binary tree），这些操作的最坏运行时间为O(lgn)。但是，如果树是含n个节点的线性链，则这些操作的最坏运行时间为O(n)。
BST作为最基本的树结构（其实还有更基本的单纯的树，不过在这里没有讨论意义），并没有特殊性质去维护其平衡性，如下图，同样都是含有7个结点的二叉树，其高度却不尽相同。因而其基本操作时间也不尽相同。对于一棵含有n个节点的BST，其高度为lgn(完全二叉树)到n(线性链)。故操作时间也不同。后面我们将会看到，一颗随机构造的BST其期望高度为O(lgn)，从而基本操作平均时间为O(lgn)。
如图所示，BST是按二叉树结构组织而成。可以用链表结构表示。一般而言，一个BST的结点声明如下：
1 struct _BST_Node { 2 int key; // key域 3 DataType *data; // 卫星数据 4 struct _BST_Node *parent; // 父节点 5 struct _BST_Node *left; // 左子结点 6 struct _BST_Node *right; // 右子节点 7 }
8
9 typedef struct _BST_Node BST_Node;
如果某个指针对象不存在，则设为NULL。根节点是树中唯一父结点为NULL的结点。
二叉查找树的性质
BST中关键字总是按照如下方式存储来保持二叉搜索树的性质：设x是BST中一个结点，则
如果y是x左子树中的一个结点，则 y.key <= x.key；反之，如果y是x右子树中的一个结点，则 y.key >= x.key。
二叉查找树的遍历
根据BST的性质，我们可以用一个递归算法来依次输出书中所有关键字。根据顺序的不同，有三种遍历算法：
前序遍历（Preorder Traversal）：中根-左子树-右子树；
中序遍历（Inorder Traversal）：左子树-中根-右子树；
后序遍历（Postorder Traversal）：左子树-右子树-中根；
此外，还有一种常用的遍历算法为广度优先搜索（Breadth-First Search, BFS），又称层序遍历，即在遍历中，每进入下一层之前，先将本层结点输出。
下面我们给出中序遍历的伪代码：
1 void InorderTraversal(BST_Node *root) { // root为要输出的树的根节点 2 3 if (root != NULL) { // 当前根节点不为空时进入遍历 4 InorderTraversal(root->left); // 继续中序遍历左节点 5 Print(root); // 输出当前结点 6 InorderTraversal(root->right); // 继续中序遍历右结点 7 } 8 9 return; 10 }
于是我们可以很容易得出前序和后序遍历的代码，即改变代码4~6行中的次序即可。
接下来我们讨论BST的BFS实现方法：
实现层序遍历需要用到队列结构。首先根节点进队，随后出队，出队前，需要将其左右两个子女依次进队。保持循环直到队列为空为止。下面给出伪代码：
1 void BFS(BFS_Node *root) { // root为要输出的树的根节点 2 3 if (root != NULL) { // 当根节点不为空时进入遍历 4 5 Create queue; // 新建空队列 6 Enqueue(queue, root); // 根节点进队 7 8 while (!isEmpty(queue)) { // 队列不为空时循环输出 9 Enqueue(queue, queue.top->left); // 当前节点左右子女进队 10 Enqueue(queue, queue.top->right); 11 Print(queue.top); // 输出队头 12 Dequeue(queue); // 队头出队 13 } 14 }
15 16 return; 17 }
事实上，广度优先搜索不仅在树中，在后面重要的数据结构图（graph）中也有着重要的作用。
定理：如果tree是一棵包含n个节点的树的根，则遍历树tree过程的时间为O(n)。
查询二叉查找树
对于二叉查找树，最常见的操作就是查找树中某个关键字。除了搜索任意关键字Search操作外，还应支持查找最小值（Min）、最大值（Max）、后继（Successor）、前驱（Predecessor）。
在一棵高度为h的树中，这些操作都可以在O(h)时间内完成。
查找
查找操作很容易实现，由于BST的性质，使得查找操作的实现类似于二分搜索。我们给出递归和非递归两个版本的搜索实现。
1 BST_Node *Search(BST_Node *root, int key) { // key为搜索关键字 2 3 if (root == NULL || key == root->key) // 查询到key则返回包含key的结点，否则返回NULL 4 return root; 5 if (key < root->key) // 根据BST性质查找左子树或右子树 6 return Search(root->left, key); 7 else 8 return Search(root->right, key); 9 } 10 11 // 搜索过程的非递归版本，一般而言速度会比递归版本快一点 12 BST_Node *Search(BST_Node *root, int key) { 13 14 while (root != NULL && key != root->key) { 15 if (key < root->key) 16 root = root->left; 17 else 18 root = root->right; 19 } 20 21 return root; 22 }
最大、最小关键字
根据BST的性质，我们可知一棵树的最小关键字结点一定是最左子节点，同理最大关键字节点一定是最右子节点。于是我们得到了如下代码：
1 BST_Node *Min(BST_Node *root) { 2 while (root->left != NULL) 3 root = root->left; 4 return root; 5 } 6 7 BST_Node *Max(BST_Node *root) { 8 while (root->right != NULL) 9 root = root->right; 10 return root; 11 }
前驱和后继
首先我们应当定义一个节点的前驱和后继分别代表什么。一般而言，前驱是指中序遍历时，在该节点前输出的那个结点，后继是在该节点后面输出的那个节点。换句话说，如果一棵树中所有关键字都不相同，则结点node的前驱为所有小于node关键字的最大关键字结点，后继为所有大于node关键字的最小关键字结点。在有了中序遍历算法的情况下，我们很容易得出搜索前驱和后继的算法，但如果每次查找前驱后继都需要遍历二叉树，未免显得太过复杂。事实上，根据BST的结构性质，不需要对关键字进行比较及遍历，即可找到某个节点的前驱或后继。
前驱：对于结点node，如果其有左子树，则后继为其左子树最右节点；如果左子树为空，则其后继为其最低祖先结点、且该节点右结点也为node的祖先。
后继：对于结点node，如果其有右子树，则后继为其右子树最左结点；如果右子树为空，则其后继为其最低祖先结点、且该节点左结点也为node的祖先。
这两个定义很绕口，我们需要看图来辅助理解，如图：
我们先找结点6的前驱。根据性质，结点6无左结点，所以我们延其祖先路径向上寻找。我们需要找到这样一个最低的祖先结点：其右结点也是结点6的祖先。结点10不是，它没有右结点。结点12也不是，它的右结点并不是结点6的祖先。结点5是，它的右结点12也是结点6的祖先，并且他是我们遇到的第一个满足该性质的结点。所以结点5是结点6的前驱。
我们再来找结点12的前驱，根据性质，结点12有左结点，因而其前驱是其左子树的最右结点，即最大结点。因而结点10是结点12的前驱。
我们再来找结点13的后继。根据性质，结点13无右结点，所以需要延其祖先路径想上寻找。我们需要找到这样一个最低的祖先结点：其左结点也是结点13的祖先。结点12不是，它的左结点不是结点13的祖先，结点5不是，他的左结点不是结点13的祖先。结点15，即根节点是，因为它的左结点5，也是结点13的祖先，并且它是我们遇到的第一个满足该性质的结点。所以结点15是结点13的后继。
最后我们找结点5的后继。根据性质，结点5有右结点，所以其后继是右子树的最左结点，即最小结点。因而结点6是结点5的后继。
下面我们给出伪代码实现：
1 BST_Node *Predecessor(BST_Node *node) { 2 3 if (node->left != NULL) 4 return Max(root->left); 5 6 BST_Node *predecessor = node->parent; 7 while (predecessor != NULL && node == predecessor->left) { 8 node = predecessor; 9 predecessor = node->parent; 10 } 11 12 return predecessor; 13 } 14 15 BST_Node *Successor(BST_Node *node) { 16 17 if (node->right != NULL) // 若结点node右子树不为空，则其后继为右子树中的最左结点，即右子树最小关键字结点 18 return Min(root->right); 19 20 BST_Node *successor = node->parent; // 若结点node右子树为空，则其后继为其最低祖先借点，且该节点做结点也为node的祖先 21 while (successor != NULL && node == successor->right) { 22 node = successor; 23 successor = node->parent; 24 } 25 26 return successor; 27 }
性质：如果BST中的某个结点有两个子女，则其后继没有左结点，前驱没有右结点。（CLRS 12.2-5）
证明：其实这个很容易理解。这里只证明后继的部分。如果结点x有两个子女，记为xLeft和xRight，则x的后继必定在xRight子树上，且xRight上所有结点关键字都大于x（假设没有重复关键字）。设结点y为x的后继，根据定义有y为大于x的最小节点。如果y有左结点，则该左结点比后继还小，与定义不符。
插入和删除
在插入和删除时，最关键的就在于要维护BST性质。在一棵高度为h的树中，这些操作都可以在O(h)时间内完成。
插入
插入过程还是很简单的，首先查找到插入位置，然后链接下新节点跟父节点就可以了。这里假设newnode已经设定好了，两个子女均为NULL。
1 void Insert(BST_Node *root, BST_Node *newnode) { 2 3 BST_Node *parent; 4 BST_Node *temp = root; 5 6 // 寻找到合适的插入位置，并记录其父节点 7 while (temp != NULL) { 8 parent = temp; 9 if (newnode->key < temp->key) 10 temp = temp->left; 11 else 12 temp = temp->right; 13 } 14 15 // 如果所记录父节点为空，则插入到根节点，否则链接新结点与父节点 16 newnode->parent = parent; 17 if (parent == NULL) 18 root = newnode; 19 else { 20 if (newnode->key < parent->key) 21 parent->left = newnode; 22 else 23 parent->right = newnode; 24 } 25 }
删除
删除过程要考虑三种情况：设待删除节点为z
1) 如果z没有子结点，则修改其父节点z.parent指向NULL；
2) 如果z只有一个子结点，则修改其父节点z.parent指向z的唯一子节点；
3) 如果z有两个子节点，则用z的后继y来代替z，并删除y（已经证明z的后继没有左结点，但有可能有右结点，所以还需要处理y的子结点）。事实上，这里也可以用前驱，并无差别。
1 void Remove(BST_Node *root, BST_Node *z) { 2 3 BST_Node *x,y; 4 // 确定处理输入结点z（至多一个结点），还是其后继（有两个节点） 5 if (z->left == NULL || z->righ == NULL) 6 y = z; 7 else 8 y = Successor(z); 9 // x被置为y的非空子女 10 if (y->left != NULL) 11 x = y->left; 12 else 13 x = y->right; 14 // 修改被删除节点的子节点的父节点指针 15 if (x != NULL) 16 x->parent = y->parent; 17 // 修改被删除节点的父节点的子节点指针 18 if (y->parent == NULL) { 19 root = x; 20 else { 21 if (y == y->parent->left) 22 y->parent->left = x; 23 else 24 y->parent->right = x; 25 } 26 // 用后继替换原结点内容 27 if (y != z) { 28 z->key = y->key; 29 z->data = y->data; 30 } 31 32 return; 33 }
