123.买卖股票的最佳时机 Ⅲ
123.买卖股票的最佳时机Ⅲ
题目
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii
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题解
这道题和之前的区别在于：限制了买卖的次数，最多只允许两次交易。
121题是交易1次，122题是交易n次。
题目只问最大利润，没有问这几天具体哪一天买、哪一天卖，因此可以考虑使用 动态规划 的方法来解决。
- 动态规划用于求解 多阶段决策问题 ；
- 动态规划问题的问法：只问最优解，不问具体的解；
之前有两个状态，持有和不持有，但是现在限制了买卖次数，状态需要细化，第一次持有(买入)状态，第二次持有(买入)状态，第一次不持有(卖出)状态，第一次不持有(卖出)状态
dp[i][j] i表示天数，j表示状态
0:没有状态无操作
1:第一次买入
2:第一次买出
3:第二次卖入
4:第二次卖出
思考一下状态如何转移的？
第i天是第一次买入状态
- 假设第i天执行买入操作，dp[i][1] = dp[i-1][0] -pricesi
- 假设第i天没有执行买入操作，dp[i][1] = dp[i-1][1]
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0] -prices[i],dp[i-1][1])
第i天是第一次卖出状态
- 假设第i天执行买入操作，dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
- 假设第i天没有执行买入操作,dp[i][2] = dp[i-1][2]
dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][1] + prices[i], dp[i-1][2])
第i天是第二次买入状态
- 假设第i天执行买入操作，dp[i][3] = dp[i-1][2] - prices[i]
- 假设第i天没有执行买入操作,dp[i][3] = dp[i-1][3]
dp[i][3] = Math.max( dp[i-1][2] - prices[i],dp[i-1][3])
第i天是第二次卖出状态
- 假设第i天执行卖出操作，dp[i][4] = dp[i-1][3] + prices[i]
- 假设第i天没有执行卖出操作，dp[i][4] = dp[i-1][4]
dp[i][4] = Math.max( dp[i-1][3] + prices[i],dp[i-1][4])
综合之后
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1] - prices[i],dp[i-1][j]) j=1,=3
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1] + prices[i],dp[i-1][j]) j=2,=4
如何初始化
dp[0][0] = 0
dp[0][1]=- prices[0]
dp[0][2]= 0
dp[0][3]= - prices[0]
dp[0][4]= 0
这里开始初始化为dp[0][3]=0,在举例推举dp数组时
①dp[1][4] = 2,这里明显是错误的，因为第一天明显只会交易一次
②第二次持有状态时买入可能会成负数，如果初始化0，那么将不会执行该买入。
说明这样初始化时错误的，那么应该初始化什么呢？
假设天数不足2天的时候，dp[i][3]和dp[i][4]不就没有意义了吗？
对于不足两天的情况，把第二次交易看成第一次交易即可，dp[0][3] = - prices[0],返回的dp[i][4]其实也是第一次交易的利润。
对于满足两天的情况，肯定是二次交易获得的利润更高。
这里根据状态推导出来，其实真实情况这种初始化是不存在
遍历顺序
i从小到大遍历，i依赖于i-1
j从小到大遍历，j依赖于j-1
滚动数组
根据递推式dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1] +或者- prices[i],dp[i-1][j])发现dp[i][j] 只依赖于前一天的状态，那么可以使用一维数组来表示,或者直接用两个变量来表示。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int leng = prices.length;
if(leng==1)return 0;
int dp [] = new int [5];
dp[1] = -prices[0];
dp[3] = -prices[0];
for(int i=1;i<leng;i++){
dp[1] = Math.max(dp[0] - prices[i],dp[1]);
dp[2] = Math.max(dp[1] + prices[i],dp[2]);
dp[3] = Math.max(dp[2] - prices[i],dp[3]);
dp[4] = Math.max(dp[3] + prices[i],dp[4]);
}
return dp[4];
}
}
通用性
这个解法更具有通用性与好理解。这里记录，方便学习时查看。
