518.零钱兑换Ⅱ
518.零钱兑换Ⅱ
题目
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2
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题解
从一个数组中按一定的选取方式得到目标target，那么尝试将题目进行转化为背包问题。
这里的物品可以重复选择，那么背包应该是完全背包。
背包的容量是amount，物品是coins[i],物品的重量是coins[i]
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示填满背包容量j有dp[j]种方法。
2.确定递推公式
dp[j]如何推出来？
- 填满j-coins[i]的背包有dp[j-coins[i]]种方法，也就是如果当前coins[i]放入背包那么就有dp[j-coins[i]]种方法
- 之前填满容量为j背包的方法数，也就是当前coins[i]不放进背包
说的更加直白一点，那就是用前k的硬币凑齐金额i，要分为两种情况计算，
一种是没有用第K个硬币就凑齐了，一种是前面已经凑到了i-coins[k]，现在就差第k个硬币了。
两种方法都可以选择，那么dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]]
3.dp数组如何初始化
dp[0] = 1,有一种装法
4.确定遍历顺序
先遍历物品，再遍历背包
for(int coin : coins){
for(int j = coin;j<=amount;j++){
dp[j] += dp[j-coin];
}
}
这里的遍历顺序是不可以变的。
先枚举金额，对于金额来说每次硬币循环都是可以的，1+2和2+1代表了两种方案，也就是排列问题。
但是先枚举硬币，那么只是对相应的金额进行方案添加，之前的硬币使用后不能再次使用。1+2可行，但是2+1就不会再出现，是组合数。
把 dp table 退化成二维的，在看看推导方向就很容易明白了，如果二维的 dp[i][j] 按一般思路，i放 nums ，那么实际推导过程是竖着遍历的，所以做状态压缩的时候，遍历方向需要保持正常遍历的方向，所以需要先遍历 target，在遍历 nums。但是如果i是target ,那么推导过程是正常的遍历顺序。
5.举例推导dp数组
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
代码
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount+1];
dp[0] = 1;
for(int coin : coins){
for(int j = coin;j<=amount;j++){
dp[j] += dp[j-coin];
}
}
return dp[amount];
}
}
