96.不同的二叉搜索树

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96.不同二叉搜索树

题目

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

题解

看到二叉搜索树应该就想到中序遍历有序。但是好像和这道题没有什么关系。
决定先把图画出来，观察是否存在规律。

图来自公众号:代码随想录

因为感觉没有数学上的关系，那么图应该是存在规律的。

头节点为1的时候，右子树有两个节点，右子树排列方式和n=2的时候一样。
头节点为2的时候，左子树有一个节点，左子树排列方式和n=1的时候一样。右子树有1个节点，右子树排列方式和n=1的时候一样。
头节点为3的时候，左子树有两个节点，左子树排列方式和n=2一样。

问题就转换为了，先确定一个头节点，剩下的2个节点怎么排的问题。
左子树出来的形态有 a 种，右子树出来的形态有 b 种，则整个树的形态有 a * b 种。

本次的问题是和上一次的有重叠的部分，本次用上一次的表示出来。
dp[3] = dp[0]*dp[2]+dp[1]*dp[1]+dp[2]*dp[0]

1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]表示恰由 i 个节点组成且节点值从 1 到 i 互不相同的 二叉搜索树 有dp[i]种。

2.确定递推公式
j从0到i-1，先确定一个节点，剩下的i-1怎么排的问题，那么数组索引和为i-1。
dp[i]+= dp[j]*dp[i-1-j]

3.dp数组如何初始化
dp[0]=1,没有节点的时候就只有为空的一种情况，左右子树相当于是排列的问题那么相乘的话应该把dp[0]初始化为1

4.确定遍历顺序
从左到右

5.举例推导dp数组
dp = [1,1,2,5,14,42]

代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int [] dp = new int [n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1;i<n+1;i++){
            for(int j=0;j<=i-1;j++){
                dp[i]+= dp[j]*dp[i-1-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

看了题解，补充一个定义DP子问题的地方

定义 DP 子问题

用 2、3 构建，和用 1、2 构建，出来的种类数是一样的，因为参与构建的个数一样。
再比如 2，3，4 和 1，2，3，都是连着的三个数，分别构建出的 BST 的种类数相同，属于相同的子问题。
定义 dp[i] ：用连着的 i 个数，所构建出的 BSTBST 种类数

作者：xiao_ben_zhu
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/shou-hua-tu-jie-san-chong-xie-fa-dp-di-gui-ji-yi-h/
来源：力扣（LeetCode）
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