动态规划学习笔记
动态规划总结
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的
明确两个点，状态和选择
解题步骤
1.确定dp数组以及下标的含义
2.确定递推公式
3.dp数组如何初始化
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组
有一些情况递推公式决定了dp数组要如何初始化，所以先确定递推公式。
bp里面198题的有一条评论很有模板性，这里记录下来学习。
学习笔记
如何debug
最好办法是把dp数组打印出来，观察是否与解题步骤5所示自己推导的数组一样。
如果一样，那么就是递推公式、初始化或者遍历顺序有问题。
如果不一样，就是代码实现细节有问题。
背包问题
重点是01背包与完全背包
01背包
有N件物品和一个最多能放重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
初始化数组
倒叙遍历，保证物品0只被放入一次
/*
dp[0][j]，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
这里将的是0号物品，就不用考虑dp[i - 1][j],
*/
// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
//感觉这里可以直接初始化
for (int j = weight[0]; j >= weight[0]; j++) {
dp[0][j] = value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
遍历顺序
有两个遍历维度:物品与背包重量
先遍历物品
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
一维写法
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。不断的维护数组
于其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}
完全背包
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上。
01背包的遍历顺序,01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
那么完全背包物品可以选择多次，那么改变背包的遍历顺序，从小到大就可以了。
完全背包一维数组应该从小到大遍历，所以内外for循环的顺序可以互换。二维数组的道理也是一样的，内外for循环也可以互换。这个只针对求和。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
