poj 1637 最大流 && 欧拉混合回路
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4 5 8 2 1 0 1 3 0 4 1 1 1 5 0 5 4 1 3 4 0 4 2 1 2 2 0 4 4 1 2 1 2 3 0 3 4 0 1 4 1 3 3 1 2 0 2 3 0 3 2 0 3 4 1 2 0 2 3 1 1 2 0 3 2 0
Sample Output
possible impossible impossible possible
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基础知识
欧拉回路是图G中的一个回路，经过每条边有且仅一次，称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。
无向图中存在欧拉回路的条件：每个点的度数均为偶数。
有向图中存在欧拉回路的条件：每个点的入度=出度。
欧拉路径比欧拉回路要求少一点：
无向图中存在欧拉路径的条件：每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。
有向图中存在欧拉路径的条件：除了2个点外，其余的点入度=出度，且在这2个点中，一个点的入度比出度大1，另一个出度比入度大1。
欧拉路径的输出：经典的套圈算法。
下面来重点讲讲混合图的欧拉回路问题。
混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。
建模：
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。
首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。
之后，察看从S发出的所有边是否满流。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由
于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 >
入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 >
出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 =
出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
AC代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define UINT unsigned int
#define MAX_INT 0x7fffffff
#define cint const int
#define MAX(X,Y) ((X) > (Y) ? (X) : (Y))
#define MIN(X,Y) ((X) < (Y) ? (X) : (Y))
#define INF 100000000
#define MAXN 222
#define MAXM 2522
struct edge{
int u, v, cap, flow, nxt;
}e[MAXM];
int h[MAXN], cc;
void add(int u, int v, int cap){
e[cc]=(edge){u, v, cap, 0, h[u]};
h[u]=cc++;
e[cc]=(edge){v, u, 0, 0, h[v]};
h[v]=cc++;
}
int num[MAXN], p[MAXN], d[MAXN], vis[MAXN];
int cur[MAXN];
void rbfs(cint t){
queue<int> q; q.push(t);
memset(vis, 0, sizeof(vis));
vis[t]=1; d[t]=0;
while(!q.empty()){
int u=q.front(); q.pop();
for(int i=h[u]; i!=-1; i=e[i].nxt){
i^=1;
int v=e[i].u, cap=e[i].cap, ef=e[i].flow;
if(!vis[v] && cap>ef){
vis[v]=1;
d[v]=d[u]+1;
q.push(v);
}
i^=1;
}
}
}
int Augment(cint s, cint t){
int u, a=INF;
for(u=t; u!=s; u=e[p[u]].u)
a = MIN(a, e[p[u]].cap - e[p[u]].flow);
for(u=t; u!=s; u=e[p[u]].u){
e[p[u]].flow+=a;
e[p[u]^1].flow-=a;
}
return a;
}
int isap(cint s, cint t, cint n){
int i, flow=0;
rbfs(t);
memset(num, 0, sizeof(num));
for(i=0; i<n; i++) num[d[i]]++;
for(i=0; i<n; i++) cur[i]=h[i];
for(int u=s; d[s]<n;){
if(u==t){
flow+=Augment(s, t);
u=s;
}
bool ok=false;
for(i=cur[u]; i!=-1; i=e[i].nxt){
int v=e[i].v, cap=e[i].cap, ef=e[i].flow;
if(d[v]+1==d[u] && cap>ef){
ok=true;
p[v]=i;
cur[u]=i;
u=v;
break;
}
}
if(!ok){
int tmp = n-1;
for(i=h[u]; i!=-1; i=e[i].nxt){
int v=e[i].v, cap=e[i].cap, ef=e[i].flow;
if(cap>ef) tmp=MIN(tmp, d[v]);
}
if(--num[d[u]]==0) break;
num[d[u]=tmp+1]++;
cur[u]=h[u];
if(u!=s) u=e[p[u]].u;
}
}
return flow;
}
int in[MAXN], out[MAXN];
bool solve(){
int n, u, v, f, m, i;
scanf(" %d %d", &n, &m);
memset(in, 0, sizeof(in));
memset(out, 0, sizeof(out));
memset(h, -1, sizeof(h)); cc=0;
while(m--){
scanf(" %d %d %d", &u, &v, &f);
out[u]++; in[v]++;
if(!f) add(u, v, 1); //忽略有向边，无向边随便取方向
}
int sum=0;
for(i=1; i<=n; i++){
int cap = abs(in[i] - out[i]);
if(cap&1) break; //若无向边数量非偶
else if(in[i]<out[i]){
add(0, i, cap>>1); //改变x/2条边方向，源点0
sum = sum + (cap>>1);
}
else if(in[i]>out[i]) add(i, n+1, cap>>1); //汇点n+1
}
if(i<=n) return false;
return sum==isap(0, n+1, n+2); //满流？
}
int main(){
// freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
int T;
scanf(" %d", &T);
while(T--){
if(solve()) printf("possible\n");
else printf("impossible\n");
}
return 0;
}
