poj1679

题意：给定一个无向连通图，问该图的最小生成树是否唯一。

分析：有一个定理，如果该图存在次小生成树（与原最小生成树不同，但长度小于等于原最小生成树），则一定可以通过从原最小生成树中去掉一个边并再入一个边得到。

经过思考我们会发现，如果要加入一个v1和v2之间的新边，那么则应去掉原有的两点间通路（是唯一通路）中的一条边才能构成生成树。那么为了保证生成树最小，则应去掉原通路上最长的那条边。

对于本题我们的做法是先求最小生成树，然后枚举每一条没有在最小生成树中的边，看加入树中并去掉通路上的最长边后是否与原最小生成数长度相同。

那么如何才能知道要去掉的最长边有多长呢？我们可以在求最小生成树的时候使用Prim算法，我们用一个二维数组f[i][j]记录两点间走树枝路径的最长边。每将一个点加入到最小生成树中的时候，就更新所有已经在最小生成树中的点到该点的路径上的最长边长度。这样建树之后我们便知道了任意两点间的最长边长度。

//poj1679
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define INFINITE 900000000

const    int        maxn = 100;

struct XEdge
{
    int s;
    int v; //边端点
    int w; //边权值
    XEdge(int s_ = 0, int v_ = 0, int w_ = INFINITE):s(s_), v(v_),w(w_) { }
};

vector<vector<XEdge> > G(maxn); //图的邻接表

int        n, m, maxval[maxn][maxn],map[maxn][maxn];
bool    used[maxn][maxn];

void init()
{
    int        i, a, b, d;

    memset(used, 0, sizeof(used));
    memset(maxval, 0, sizeof(maxval));
    memset(map, 0, sizeof(map));
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i = 0; i < n; i++)
        G[i].clear();
    for (i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &d);
        a--;
        b--;
        G[a].push_back(XEdge(a, b, d));
        G[b].push_back(XEdge(b, a, d));
        map[a][b] = map[b][a] = d;
    }
}

bool operator <(const XEdge & e1, const XEdge & e2)
{
    return e1.w > e2.w;
}

void dp(vector<int> &vUsed, int u, int w)
{
    int        v, i;

    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        v = i;
        maxval[v][u] = _cpp_max(w, maxval[v][u]);
        maxval[u][v] = maxval[v][u];
    }
}

int HeapPrim(const vector<vector<XEdge> > & G)
//G是邻接表,n是顶点数目，返回值是最小生成树权值和
{
    int i;
    XEdge xDist(0,0);
    priority_queue<XEdge> pq;
    vector<int> vDist(n); //各顶点到已经建好的那部分树的距离
    vector<int> vUsed(n);//标记顶点是否已经被加入最小生成树
    int nDoneNum = 0; //已经被加入最小生成树的顶点数目
    for( i = 0;i < n;i ++ ) {
        vUsed[i] = 0;
        vDist[i] = INFINITE;
    }
    nDoneNum = 0;
    int nTotalW = 0;
    pq.push(XEdge(0,0,0));
    while( nDoneNum < n && !pq.empty() ) { 
        do {
            xDist = pq.top();       pq.pop();
        } while( vUsed[xDist.v] == 1 && ! pq.empty()); 
        if( vUsed[xDist.v] == 0 ) {
            nTotalW += xDist.w;
            vUsed[xDist.v] = 1;
            used[xDist.s][xDist.v] = true;
            used[xDist.v][xDist.s] = true;
            dp(vUsed, xDist.v, xDist.w);
            nDoneNum ++;
            for( i = 0;i < G[xDist.v].size();i ++ ) {
                int k = G[xDist.v][i].v;
                if( vUsed[k] == 0) {
                        int w = G[xDist.v][i].w ;    
                          if( vDist[k] > w ) {
                               vDist[k] = w;
                               pq.push(XEdge(xDist.v,k,w));
                        }
                }
            }
        }
    }
    if( nDoneNum < n )
        return -1; //图不连通
    return nTotalW;
}

bool unique()
{
    int        i, j;

    for (i = 0; i < n; i++)
        for (j = i; j < n; j++)
            if (map[i][j] && !used[i][j] && maxval[i][j] == map[i][j])
                return false;
    return true;
}

int main()
{
    int        t, ans;
    bool    ok;

    //freopen("t.txt", "r", stdin);
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        init();
        ans = HeapPrim(G);
        ok = unique();
        if (ok)
            printf("%d\n", ans);
        else
            printf("Not Unique!\n");
    }
    return 0;
}