Bonus -「A. Algebra」你一定要这么定义群吗？那我问你。
\[\mathscr{Lorain~y~w~la~Lora~blea.}
\newcommand{\DS}[0]{\displaystyle}
% operators alias
\newcommand{\opn}[1]{\operatorname{#1}}
\newcommand{\card}[0]{\opn{card}}
\newcommand{\lcm}[0]{\opn{lcm}}
\newcommand{\char}[0]{\opn{char}}
\newcommand{\Char}[0]{\opn{Char}}
\newcommand{\Min}[0]{\opn{Min}}
\newcommand{\rank}[0]{\opn{rank}}
\newcommand{\Hom}[0]{\opn{Hom}}
\newcommand{\End}[0]{\opn{End}}
\newcommand{\im}[0]{\opn{im}}
\newcommand{\tr}[0]{\opn{tr}}
\newcommand{\diag}[0]{\opn{diag}}
\newcommand{\coker}[0]{\opn{coker}}
\newcommand{\id}[0]{\opn{id}}
\newcommand{\sgn}[0]{\opn{sgn}}
\newcommand{\Res}[0]{\opn{Res}}
\newcommand{\cent}[0]{\u{\degree C}}
% symbols alias
\newcommand{\E}[0]{\exist}
\newcommand{\A}[0]{\forall}
\newcommand{\l}[0]{\left}
\newcommand{\r}[0]{\right}
\newcommand{\eps}[0]{\varepsilon}
\newcommand{\Ra}[0]{\Rightarrow}
\newcommand{\Eq}[0]{\Leftrightarrow}
\newcommand{\d}[0]{\mathrm{d}}
\newcommand{\e}[0]{\mathrm{e}}
\newcommand{\i}[0]{\mathrm{i}}
\newcommand{\j}[0]{\mathrm{j}}
\newcommand{\k}[0]{\mathrm{k}}
\newcommand{\Ex}[0]{\mathbb{E}}
\newcommand{\D}[0]{\mathbb{D}}
\newcommand{\oo}[0]{\infty}
\newcommand{\tto}[0]{\rightrightarrows}
\newcommand{\mmap}[0]{\hookrightarrow}
\newcommand{\emap}[0]{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\lin}[0]{\lim_{n\to\oo}}
\newcommand{\linf}[0]{\liminf_{n\to\oo}}
\newcommand{\lsup}[0]{\limsup_{n\to\oo}}
\newcommand{\ser}[0]{\sum_{n=1}^\oo}
\newcommand{\isoto}[0]{\overset\sim\to}
\newcommand{\F}[0]{\mathbb F}
\newcommand{\x}[0]{\times}
\newcommand{\M}[0]{\mathbf{M}}
\newcommand{\T}[0]{\intercal}
% symbols with parameters
\newcommand{\der}[1]{\frac{\d}{\d #1}}
\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\br}[1]{\l(#1\r)}
\newcommand{\bk}[1]{\l[#1\r]}
\newcommand{\ev}[1]{\l.#1\r|}
\newcommand{\abs}[1]{\l|#1\r|}
\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\env}[2]{\begin{#1}#2\end{#1}} % why not?
\newcommand{\pmat}[1]{\env{pmatrix}{#1}}
\newcommand{\dary}[2]{\l|\begin{array}{#1}#2\end{array}\r|}
\newcommand{\pary}[2]{\l(\begin{array}{#1}#2\end{array}\r)}
\newcommand{\pblk}[4]{\l(\begin{array}{c|c}{#1}&{#2}\\\hline{#3}&{#4}\end{array}\r)}
\newcommand{\u}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\lix}[1]{\lim_{x\to #1}}
\newcommand{\ops}[1]{#1\cdots #1}
\newcommand{\seq}[3]{{#1}_{#2}\ops,{#1}_{#3}}
\newcommand{\dedu}[2]{\u{(#1)}\Ra\u{(#2)}}
\]
先放一段笔记内容:
定义 11.1.1
群是资料 \((G,\cdot)\), 其中 \(G\) 非空, \(\cdot:G\x G\to G\) 满足:
- 结合律. \(\A x,y,z\in G,~(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)\).
- 幺元存在. \(\E 1_G\in G,~\A x\in G,~1_G\cdot x=x\cdot 1_G=x\).
- 逆元存在. \(\A x\in G,~\E x^{-1}\in G,~x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1_G\).
- (进一步成为交换群 / Abel 群) 交换律. \(\A x,y\in G,~x\cdot y=y\cdot x\).
直接的结论 (例如消去律, 幺元唯一, 逆元唯一, ...) 就不写了叭.
在逆元唯一性证明中, lww 创新性地引入了 \(x^{\text{负一}}\) 作为记号用来与 \(x^{-1}\) 区分, 值得研究学习. Rainy7 进一步指出还能使用记号 \(\frac{1}{x}\), 此神来之笔也.
称 \(G=\{1_G\}\) 为平凡群, \(|G|\) 为群的阶数. 在公理中, 删去逆元存在性, 可得到幺半群结构, 再删去幺元存在性可以得到半群. 例如, 记号 \(x^n\) 在半群, 幺半群, 群里分别能对 \(n\in\Z_{>0}\), \(n\in\Z_{\ge 0}\), \(n\in\Z\) 定义.
Bonus.
以上定义直接要求了左右幺元 (逆元) 存在且相等, 这个条件似乎很强, 我们不禁怀疑其是否有些冗余. 我尝试枚举了一些情况:
逆元存在性改为 "(各自) 存在左逆或右逆", 不等价, 反例:
\[\lang\texttt (,\texttt)\mid \texttt{()}=\varnothing\rang. \]逆元存在性改为 "(都) 存在左逆 (或都存在右逆)", 等价:
\[x^{-1}x=1\land (x^{-1})^{-1}x^{-1}=1\Ra (x^{-1})^{-1}x^{-1}x=x=(x^{-1})^{-1}. \]逆元存在性改为 "存在左逆和右逆", 等价:
\[x^{-1}_Lx=xx_R^{-1}=1\Ra x_L^{-1}xx_R^{-1}=x_L^{-1}=x_R^{-1}. \]幺元存在性改为 "存在右幺元 (或存在左幺元)", 不良定, 反例:
\[(G,\opn{const}). \](回忆 \(\opn{const}:x\mapsto y\mapsto x\), \(G\) 满足结合律, 但所有元素都是右幺元.)
幺元存在性改为 "存在左幺元且存在右幺元 (逆元定义时不妨取左幺元)", 等价:
\[1_L\cdot 1_R=1_L=1_R. \]幺元存在性改为 "存在唯一左幺元 (或存在唯一右幺元)", 等价:
\[x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=1_L\Ra x\cdot (x^{-1}\cdot x)=x\cdot 1_L=1_L\cdot x=x. \]总的来说, 在所有等价描述中, 定义 11.1.1 确实是 "字数最少" 的说法之一, 这下放心了. 当然加上交换律后又有一堆情况讨论, 我们确信自己会做!
以上是笔记内容, 因为心血来潮给 bonus 里的所有等价性证明写了 Agda 所以放出来, 才不是因为 lww 的 \(x^{\text{负一}}\).
你说 "群是单对象且逆态射存在的范畴" 才是字数最少的定义? 那我问你, 定义范畴资料需不需要写字? 定义单位态射需不需要写字? 定义态射结合律需不需要写字? 定义逆态射需不需要写字? 回答我! Look in my eyes!
好了以下是为上述四个等价定义写的形式化证明. "不等价性" 估计需要炫酷的 ∃-syntax 和 ⊥-elim 之类的家伙, 很不熟悉这些东西, 就不折磨自己了 qwq.
import Relation.Binary.PropositionalEquality as Eq
open Eq using (_≡_; _≢_; refl; trans; sym; cong; cong-app; subst)
open Eq.≡-Reasoning using (begin_; _∎)
infixr 2 _≡⟨⟩_ _≡⟨_⟩_
_≡⟨⟩_ : ∀ {ℓ} {A : Set ℓ} (x : A) {y : A} → x ≡ y → x ≡ y
x ≡⟨⟩ refl = refl
_≡⟨_⟩_ : ∀ {ℓ} {A : Set ℓ} (x : A) {y z : A} → x ≡ y → y ≡ z → x ≡ z
x ≡⟨ refl ⟩ refl = refl
record Group {A : Set} (_*_ : A → A → A) : Set where
field
e : A
inv : A → A
assoc : ∀ x y z → (x * y) * z ≡ x * (y * z)
identᴸ : ∀ x → e * x ≡ x
identᴿ : ∀ x → x * e ≡ x
invertᴸ : ∀ x → inv x * x ≡ e
invertᴿ : ∀ x → x * inv x ≡ e
open Group
module Left-Inversion-Always-Exists where
record Group' {A : Set} (_*_ : A → A → A) : Set where
field
e : A
invᴸ : A → A
assoc : ∀ x y z → (x * y) * z ≡ x * (y * z)
identᴸ : ∀ x → e * x ≡ x
identᴿ : ∀ x → x * e ≡ x
invertᴸ : ∀ x → invᴸ x * x ≡ e
open Group'
Group'≡Group : {A : Set} {_*_ : A → A → A} (G' : Group' _*_) → Group _*_
Group'≡Group {A} {_*_} G' = G
where
G : Group _*_
G .e = G' .e
G .inv = G' .invᴸ
G .assoc = G' .assoc
G .identᴸ = G' .identᴸ
G .identᴿ = G' .identᴿ
G .invertᴸ = G' .invertᴸ
G .invertᴿ x =
begin
x * G .inv x
≡⟨ sym (G. identᴸ (x * G .inv x)) ⟩
G .e * (x * G .inv x)
≡⟨ cong (_* (x * G .inv x)) (sym (G .invertᴸ (G .inv x))) ⟩
(G .inv (G .inv x) * G .inv x) * (x * G .inv x)
≡⟨ G .assoc (G .inv (G .inv x)) (G .inv x) (x * G .inv x) ⟩
G .inv (G .inv x) * (G .inv x * (x * G .inv x))
≡⟨ cong (G .inv (G .inv x) *_) (sym (G .assoc (G .inv x) x (G .inv x))) ⟩
G .inv (G .inv x) * ((G .inv x * x) * G .inv x)
≡⟨ cong (λ t → G .inv (G .inv x) * (t * G .inv x)) (G .invertᴸ x) ⟩
G .inv (G .inv x) * (G .e * G .inv x)
≡⟨ cong (G .inv (G .inv x) *_) (G .identᴸ (G .inv x)) ⟩
G .inv (G .inv x) * G .inv x
≡⟨ G .invertᴸ (G .inv x) ⟩
G .e
∎
--------------------------
module Has-Left-And-Right-Inversion where
record Group' {A : Set} (_*_ : A → A → A) : Set where
field
e : A
invᴸ : A → A
invᴿ : A → A
assoc : ∀ x y z → (x * y) * z ≡ x * (y * z)
identᴸ : ∀ x → e * x ≡ x
identᴿ : ∀ x → x * e ≡ x
invertᴸ : ∀ x → invᴸ x * x ≡ e
invertᴿ : ∀ x → x * invᴿ x ≡ e
open Group'
Group'≡Group : {A : Set} {_*_ : A → A → A} (G' : Group' _*_) → Group _*_
Group'≡Group {A} {_*_} G' = G
where
G : Group _*_
G .e = G' .e
G .inv = G' .invᴸ
G .assoc = G' .assoc
G .identᴸ = G' .identᴸ
G .identᴿ = G' .identᴿ
G .invertᴸ = G' .invertᴸ
G .invertᴿ x =
begin
x * G .inv x
≡⟨ cong (x *_) (sym (G .identᴿ (G .inv x))) ⟩
x * (G .inv x * G .e)
≡⟨ cong (λ t → x * (G .inv x * t)) (sym (G' .invertᴿ x)) ⟩
x * (G .inv x * (x * G' .invᴿ x))
≡⟨ cong (x *_) (sym (G .assoc (G .inv x) x (G' .invᴿ x))) ⟩
x * ((G .inv x * x) * G' .invᴿ x)
≡⟨ cong (λ t → x * (t * G' .invᴿ x)) (G .invertᴸ x) ⟩
x * (G .e * G' .invᴿ x)
≡⟨ cong (x *_) (G .identᴸ (G' .invᴿ x)) ⟩
x * G' .invᴿ x
≡⟨ G' .invertᴿ x ⟩
G .e
∎
--------------------------
module Has-Left-And-Right-One where
record Group' {A : Set} (_*_ : A → A → A) : Set where
field
eᴸ : A
eᴿ : A
inv : A → A
assoc : ∀ x y z → (x * y) * z ≡ x * (y * z)
identᴸ : ∀ x → eᴸ * x ≡ x
identᴿ : ∀ x → x * eᴿ ≡ x
invertᴸ : ∀ x → inv x * x ≡ eᴸ
invertᴿ : ∀ x → x * inv x ≡ eᴸ
open Group'
Group'≡Group : {A : Set} {_*_ : A → A → A} (G' : Group' _*_) → Group _*_
Group'≡Group {A} {_*_} G' = G
where
G : Group _*_
G .e = G' .eᴸ
G .inv = G' .inv
G .assoc = G' .assoc
G .identᴸ = G' .identᴸ
G .invertᴸ = G' .invertᴸ
G .invertᴿ = G' .invertᴿ
G .identᴿ x =
begin
x * G .e
≡⟨ cong (x *_) (sym (G' .identᴿ (G .e))) ⟩
x * (G .e * G' .eᴿ)
≡⟨ cong (x *_) (G. identᴸ (G' .eᴿ)) ⟩
x * G' .eᴿ
≡⟨ G' .identᴿ x ⟩
x
∎
--------------------------
module Has-Unique-Left-One where
record Group' {A : Set} (_*_ : A → A → A) : Set where
field
eᴸ : A
inv : A → A
assoc : ∀ x y z → (x * y) * z ≡ x * (y * z)
identᴸ : ∀ x → eᴸ * x ≡ x
invertᴸ : ∀ x → inv x * x ≡ eᴸ
invertᴿ : ∀ x → x * inv x ≡ eᴸ
open Group'
Group'≡Group : {A : Set} {_*_ : A → A → A} (G' : Group' _*_) → Group _*_
Group'≡Group {A} {_*_} G' = G
where
G : Group _*_
G .e = G' .eᴸ
G .inv = G' .inv
G .assoc = G' .assoc
G .identᴸ = G' .identᴸ
G .invertᴸ = G' .invertᴸ
G .invertᴿ = G' .invertᴿ
G .identᴿ x =
begin
x * G .e
≡⟨ cong (x *_) (sym (G .invertᴸ x)) ⟩
x * (G .inv x * x)
≡⟨ sym (G .assoc x (G .inv x) x) ⟩
(x * G .inv x) * x
≡⟨ cong (_* x) (G .invertᴿ x) ⟩
G .e * x
≡⟨ G .identᴸ x ⟩
x
∎
我去这个代码高亮引擎什么时候支持 Agda 的语法高亮了?!
浙公网安备 33010602011771号