Note -「基本子串结构」速通笔记

  学习自 crashed 的《一类基础子串数据结构》摘抄及注解, 略过了一些 crashed 口中 "用不上" 的东西. 这里是速通笔记, 希望快速学习技巧的读者可以就看本篇, 但希望深入研究的读者还是看 crashed 的博客和其中提到的原论文叭.

 

$$\mathbb{Defining~\LaTeX~macros\dots} \newcommand{\occ}[0]{\operatorname{occ}} \newcommand{\ext}[0]{\operatorname{ext}} \newcommand{\rep}[0]{\operatorname{rep}} \newcommand{\str}[1]{\underline{\texttt{#1}}} \newcommand{\per}[0]{\operatorname{per}}$$

  / 一些记号. /

• $s[l:r]$, 字符串 $s$ 的子串 $s_ls_{l+1}\cdots s_{r}$, 下标从 $1$ 开始.
• $\occ_s(t)$, $t$ 作为子串在 $s$ 中的出现次数. 即 $\{(l,r)\mid s[l:r]=t\}$ 的大小.
• 通常情况下, 以 $s$ 代表母串.
• $T_0,T_1$, 分别指代 ($s$ 的) 正串 SAM 的 parent 树 (反串后缀树) 和反串 SAM 的 parent 树 (正串后缀树).

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  / 一些扩展. /

  我们熟知, 在 SAM 中, 我们依靠 $\text{endpos}$ 集合将 $s$ 本质不同的子串划分入若干等价类, 并用一个结点代表一个等价类, 形成了 DAWG 和 parent 树, 这是好的. 但从直觉上讲, 强行引入 "$\text{end}$", 引入 "后缀", 感觉有点束手束脚. 我们能否将 "后缀关系" 替换为 "子串关系", 构造出一个更为 general 的等价结构?

  这就是所谓 "基本子串结构" 干的事情. 这里我们先干脆地给出一些定义:

 

   $\textbf{Definition 1.}$ (扩展串) 子串 $t$ 的扩展串定义为 $\ext(t):=t'$, 满足 $t$ 是 $t'$ 的子串, 且 $\occ(t)=\occ(t')$.

  若 $\arg\max$ 数量 $>1$, 这些串的并一定是子串且满足条件, 因而这个概念是良的. 此外, 下面这些推论都容易感知到:

  $\textbf{Theorem 1.}$ 若 $t=s[l:r],t'=\ext(t)=[l':r'],t''=s[l'':r'']$, 使得 $l'\le l''\le l\le r\le r''\le r'$, 则 $\ext(t'')=t'$. (人话: 夹在 $t$ 和 $t'$ 中间的串的 $\ext$ 还是 $t'$.)

 

  模仿 SAM, 等价关系呼之欲出:

  $\textbf{Definition 2.}$ (等价类) 子串 $x,y$ 等价当且仅当 $\ext(x)=\ext(y)$.

  我们说它是等价关系它就是 (雾), 证明很轻松. 此后, 还是如 SAM 记录每个结点的最长串作为代表, 我们记录每个等价类的最长串为代表元:

  $\textbf{Definition 3.}$ (代表元) 等价类 $g$ 的代表元为 $\rep(g):=t$, 满足 $t\in g$ 且 $\ext(t)=t$.

  显然代表元存在且唯一. (那个, 咱既然是速通 ver, 能不能略过一些良定说明啊?)

 

  接下来是比较关键的部分, 我们将给出等价类的直观结构.

  $\textbf{Theorem 2.}$ (阶梯划分) 在 $s[l:r]\mapsto (l,r)$ 的作用下, $[1:|s|]^2$ 在 $y=x$ 以上的点被等价类划分入若干个阶梯状集合, 其中 $g$ 对应的阶梯出现次数为 $\occ(\rep(g))$.
  $\textbf{Example 1.}$ 设 $s=\str{aababcd}$, 那么

$$\begin{aligned} {\color{red}{g_1}} &= \{\str{aa},\str{aab},\str{aaba},\str{aabab},\str{aababc},\str{aababcd}\}\\ &\cup \{\str{aba},\str{abab},\str{ababc},\str{ababcd}\}\\ &\cup \{\str{ba},\str{bab},\str{babc},\str{babcd}\}\\ &\cup \{\str{abc},\str{abcd}\}\\ &\cup \{\str{bc},\str{bcd}\}\\ &\cup \{\str{c},\str{cd}\}\\ &\cup \{\str{d}\},\\ {\color{blue}{g_2}} &= \{\str{b},\str{ab}\},\\ {\color{green}{g_3}} &= \{\str{a}\}. \end{aligned}$$

其对应阶梯划分为 (感谢 crashed 倾情作画):

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  / 一些联系. /

  好吧, 再说下去 SAM 就要被气走啦, 我们接下来看看这个结构与 $T_0,T_1$ 的关系, 毕竟对这个结构的构建也很难离开它们.

  $\textbf{Theorem 3.}$ 对于等价类 $g$ 的某个完整阶梯, 其完整的一行对应的子串集合与 $T_0$ 某个结点对应的子串集合相同, 其完整的一列对应的子串集合与 $T_1$ 某个结点对应的子串集合相同, 并且二者在全局形成一一对应.

  (证明不太平凡, 但容易感性, 故略.)

  $\textbf{Definition 4.}$ (周长) 等价类 $g$ 的周长 $\per(g)$ 定义为其一个完整阶梯的行数列数之和.

  利用 Theorem 3, 我们可以得到:

  $\textbf{Theorem 4.}$ $\sum_g\per(g)=\mathcal O(n)$.

  这一点便可以窥见如同 SAM 的强大.

  最后, 我们只需要将 $T_0,T_1$ 的连边对应到等价类的行列上, 我们就完成基本子串结构的基本结构啦. 这个并不复杂: 对于 $T_0$ 的从父亲到儿子的树边, 其从一行的左边界连向另一行的右边界; 对于 $T_1$ 的从父亲到儿子的树边, 其从一行的上边界连向另一行的下边界. 如图, 对于 $S=\str{aababcd}$:

其基本子串结构连边为

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  / 一个算法. /

  乐, 我研究的论文就没有这个部分. (

  建正反 SAM 需要我教吗? 呐呐, 需要雨兔教教吗?

  识别代表元 这里就沿用一点代码里的常用记号了. 显然, 设子串 $t$ 在正反串中分别对应 $u,v$, 则 $t$ 是子串等价于 $\max_u=\max_v=|t|$, 我们可以在正 SAM 上沿着 $\max_v=\max_u+1$ 的 DAWG 边遍历, 在后端加字符即在反 SAM 上用 $T_1$ 的边转移, 这样就能建立结点对应顺别求出代表元了. 复杂度是 $\mathcal O(n|\Sigma|)$ 的.

  咱还是放个代码叭.

std::function<void(int, int)>
match = [&](const int u, const int v)->void {
    bool flg = sam[0].mx[u] == sam[1].mx[v];
    if (flg) sam[0].bel[u] = sam[1].bel[v] = ++cnt;
    rep (i, 0, 3) if (sam[0].mx[sam[0].ch[u][i]] == sam[0].mx[u] + 1) {
        match(sam[0].ch[u][i], flg ? sam[1].son[v][i] : v);
    }
};
match(1, 1);

  其中 son[u][i] 指 $u$ 点沿着 parent 树走向某个儿子, 在字符串后侧加上字符 $i$, 到达的结点.

  划分等价类 注意到正 SAM 中, 不在等价类边界上的点一定只有一条 DAWG 出边, 连向上方行对应的 SAM 结点. 因此按照 $\max_u$ 降序为非代表元结点标记等价类编号即可. (crashed 称可以按照结点编号倒序扫描, 原因位置.)

  行列排序 划分完等价类后, 分别把行列按照扫描顺序加入等价类, 我们就得到了等价类中行列对应的 SAM 结点序列了.

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  / 一个例题. /

  嗯, 只有一个例题.

• 「ULR #1」「UOJ #577」打击复读 & Submission.

  首先, 修改只有单点修 $\textit{wl}$, 我们直接预处理出答案关于 $\textit{wl}$ 的线性组合系数就行了.

  另一方面, 观察 $\textit{vl}$ 和 $\textit{vr}$, 它们不正是描述了一个等价类的行列系数吗? 一个字符串 $t$ 的答案的贡献总和就是 $\occ(t)$ 倍的其所在等价类行列权值乘积. 先求出 $\textit{vr}$, 会和 $\textit{vr}$ 乘起来的 $\textit{vl}$ 一定是列的一段前缀, 我们借此可以求出 $\textit{vl}$ 的线性组合系数, 再在 $T_1$ 的 parent 树上反向求出 $\textit{wl}$ 的线性组合系数即可. 复杂度 $\mathcal O(n|\Sigma|+q)$.

  的确挺板的, 如果有需要可以康康兔的代码. SuffixAutomaton 里除了 sum[] 是本题所求的, 其他东西都是板子需要的.

  哪天心情好再写道题?