Solution -「AGC 058D」Yet Another ABC String

$$\mathfrak{Defining~\LaTeX~macros\dots} \newcommand{\chr}[1]{\underline{\texttt{#1}}}$$

$\mathscr{Description}$

  Link.

  给定 $a,b,c$ 求由 $a$ 个 $\chr A$, $b$ 个 $\chr B$, $c$ 个 $\chr C$ 组成的, 不存在子串 $\chr{ABC},\chr{BCA},\chr{CAB}$ 的字符串数量. 答案模 $998244353$.

  $a,b,c\le10^6$.

$\mathscr{Solution}$

  不合法单元 $\chr{ABC},\chr{BCA},\chr{CAB}$ 之间可能重叠, 所以我们难以使用平凡的容斥消除合法限制. 引入更广义的容斥? 考虑计算长度为 $k$ 的一种不合法单元循环串 $L_k=(\chr{ABC})^{+\infty}[:k]$ 的容斥系数 $c_k$. 本质上, 这一字符串在容斥过程中由连续的钦定不合法单元拼接而成. 因此当 $L_k\to L_{k+1}$ 时, 为了使 $L_{k+1,k+1}$ 被钦定入 $L_{k+1}$, 必须钦定 $L_{k+1}[k-1:]$ 不合法. 也就是说, $k-1$ 必然被钦定为非法单元左端点. 而再前面一个左端点就能取 $k-2$ 或 $k-3$, 对应 $L_k$ 或 $L_{k-1}$ 的情景. 因此有 $c_{k+1}=-(c_k+c_{k-1})$, 边界为 $c_1=1,c_2=0$. 当然, 这也就说明 $c_k=[k\equiv1\pmod3]-[k\equiv0\pmod3]$.

  接下来容斥 DP. 令 $f(i,j)$ 表示完成了对 $[1,i]$ 的容斥, 有 $j$ 个字符未被非法单元确定的方案数. 则

$$f(i,j)=f(i-1,j-1)+\sum_{k=1}^i[k\equiv1\pmod3]f(i-k,j-1)-3[k\equiv0\pmod 3]f(i-k,j).$$

注意两个带容斥系数项的处理. 非法单元循环实际上有 $(\chr{ABC})^{\infty},(\chr{BCA})^{+\infty},(\chr{CAB})^{+\infty}$, 当 $k\bmod3=1$ 时, 需要确定第一个, 但 $\chr A,\chr B,\chr C$ 的消耗量不一样, 所以需要计入 $j$; 当 $k\bmod3=0$ 时, 直接算上三种方案就行.

  先来表示出答案,

$$\textit{ans}=\sum_i\binom{n-3i}{a-i,b-i,c-i}f(n,n-3i).$$

组合数统一确定了 $f$ 中的未被确定字符. 可见, 我们需要求 $f(n,\star)$.

  需要优化, 不过后面的过程都很初等了. 引入 $F(x,y)=\sum_{i,j}f(i,j)x^iy^j$, 那么

$$F(x,y)-1=\left(xy+\sum_{k\equiv1\pmod 3,k\ge3}x^ky-3\sum_{k\equiv0\pmod 3,k\ge1}x^k\right)F(x,y).$$

令转移系数整体为 $T(x,y)$, 化简得

$$T(x,y)=\frac{xy-3x^3}{1-x^3}.$$

代回解得

$$F(x,y)=\frac{1}{1-T(x,y)}=\frac{1-x^3}{1-xy+2x^3}.$$

提取单项系数容易做到 $\mathcal O(1)$. 那么本题就 $\mathcal O(n)$ 完成了.

$\mathscr{Code}$

/*+Rainybunny+*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep(i, l, r) for (int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i)
#define per(i, r, l) for (int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i)

const int MAXN = 3e6, MOD = 998244353;
int n, a, b, c, fac[MAXN + 5], ifac[MAXN + 5], pwr[MAXN + 5];

inline int mul(const int u, const int v) { return 1ll * u * v % MOD; }
inline void subeq(int& u, const int v) { (u -= v) < 0 && (u += MOD); }
inline int sub(int u, const int v) { return (u -= v) < 0 ? u + MOD : u; }
inline void addeq(int& u, const int v) { (u += v) >= MOD && (u -= MOD); }
inline int add(int u, const int v) { return (u += v) < MOD ? u : u - MOD; }
inline int mpow(int u, int v) {
    int ret = 1;
    for (; v; u = mul(u, u), v >>= 1) ret = mul(ret, v & 1 ? u : 1);
    return ret;
}

inline void init() {
    fac[0] = pwr[0] = 1;
    rep (i, 1, n) fac[i] = mul(i, fac[i - 1]), pwr[i] = mul(2, pwr[i - 1]);
    ifac[n] = mpow(fac[n], MOD - 2);
    per (i, n - 1, 0) ifac[i] = mul(i + 1, ifac[i + 1]);
}

inline int bino(const int u, const int v) {
    return u < v ? 0 : mul(fac[u], mul(ifac[v], ifac[u - v]));
}

/** Calculate [x^uy^v](1-xy+2x^3)^{-1}. */
inline int calc(const int u, const int v) {
    if ((u + 2 * v) % 3) return 0;
    int k = (u + 2 * v) / 3;
    if (k < v) return 0;
    return mul(bino(k, v), (k - v & 1 ? sub : add)(0, pwr[k - v]));
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
    n = a + b + c, init();

    int ans = 0;
    rep (i, 0, std::min({ a, b, c })) {
        addeq(ans, mul(mul(fac[n - 3 * i], mul(ifac[a - i],
          mul(ifac[b - i], ifac[c - i]))),
          sub(calc(n, n - 3 * i), calc(n - 3, n - 3 * i))));
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}