Solution Set -「LGR-126」洛咕咕的 NOIP 模拟赛

  机房在三楼, 不在五楼.

  三楼确实有阶梯教室.

  三楼向外望是一楼大厅屋顶所以看上去不高.

  十一点前必须离开科技楼是因为爱因斯坦要锁大门.

  我不会被自己写的东西清空 san 值.

  我是兔子.

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  Contest link.

$\mathscr{A}\sim$ 折线

  Tag:「水题无 tag」

  显然答案 $\ge2$. 若能横向或纵向把点集恰好一刀切成两半, 则答案为 $2$; 否则若能找到一个右下角或左上角的矩形恰好覆盖点集一半, 则答案为 $3$; 否则不难构造出 $4$. 判 $3$ 可以扫描线 + 数据结构二分或者单调指针维护. 复杂度 $\mathcal O(n\log n)$, 瓶颈可以做到只有排序.

$\mathscr{B}\sim$ 冒泡排序

  Tags:「A.DP-计数 DP」「C.性质/结论」

  不妨令 $f(p)\gets n-f(p)$.

  排列没啥好说的. 对于圆排列, 第一个任务自然是描述给定圆排列 $p$ 的最小操作次数 $f(p)$.

  我们知道, 排列上, $f(p)$ 为 $p$ 的从 $p_1$ 开始的最长贪心上升子序列 (LGIS) 长度. 结合这一点, 同时观察样例解释, 我敢打赌, 圆排列上 $f(p)$ 为 $\forall i\in[1,n]$, 从 $p_i$ 开始的 LGIS 长度的最小值. 证明不难.

  呜... 但这个结论并不能转化出方便的计数情景. 再注意到, LGIS 的最后一项必然是 $n$, 所以直接把 $n$ 钦定在 $p_n$, 固定圆排列的同时直接破环为链. 链上问题就好做了, 令 $f(i,j)$ 表示用 $i$ 个数排出任意 LGIS $\le j$ 的方案数. 枚举 $i$ 个数中最大值的出现位置即可转移. 复杂度 $\mathcal O(n^3)$.

$\mathscr{C}\sim$ 动态图连通性 *

  Tags:「A.图论-最短路相关」「B.Tricks」

  好题, 但为了 $80\text{pt}$ 拼三大坨暴力真的好难受.

  首先转化一下问题, 在离线之后, 我们只需要保留一条 $1\to n$ 的路径作为最后一条存在的路径. 则这条路径上的边不能 cut, 其他边若存在都能 cut.

  什么叫 "最后存在"? 可以发现, 令 $S$ 为路径上每条边被 cut 的时间排序后的序列, 则 $S$ 的字典序对应着路径的存在时间关系, 字典序越大, 存在时间越靠后. 我们只需要求出一条 "字典序最长路" 即可.

  我们先将所有从未被 cut 的边依次 cut 掉, 这是所有边的 cut 时间互不相同. 则令 cut 时间为 $x$ 的边的权值为 $2^x$, 字典序最长就变成路径权值和 reverse 后最小. 这样的权值约定是满足 Dijkstra 的需求性质的. 所以我们可以用 Dijkstra 求最短路, 但还剩下最后一个问题, 如何比较权值呢?

  最自然的想法是主席树维护区间 hash 暴力存储权值, 树上二分求二进制最低不同 bit. 一种更优美的方法是在最短路树上求 LCA: 对于两条路径 $1\to w\to u$ 和 $1\to w\to v$, 由于边权互不相同, 所以 $w\to u$ 和 $w\to v$ 上的边权互不相同, 为了比较字典序, 就只需要比较这两条路径的 $\min$ 值大小! 这个比较常数巨大, 所以最好用线段树替代 Dijkstra 中的堆. 复杂度 $\mathcal O(m\log^2n)$.

$\mathscr{D}\sim$ 线段 *@

  Tags:「A.分治-猫树分治」「B.Tricks」

  不知道该评价是好题还是好 trick.

  猫树分治, 一个区间的贡献在跨 $\textit{mid}$ 处统计. 对于取交操作, 若其不完全包含 $[l,r]$, 则其会对 $[l,r]$ 产生影响. 讨论若区间跨过 $\textit{mid}$, 则所有线段左端点会向取交区间取 $\max$, 右端点类似. 这可以用堆维护 (端点值, 出现次数) 维护. 对于没跨过 $\textit{mid}$ 的询问, 它会将一些区间丢到更深层的分治区间, 总次数是 $\mathcal O(n\log n)$ 的. 一个恶心的地方在于, 我们需要维护没跨 $\textit{mid}$ 的询问对异侧端点的影响, 这里貌似需要手写堆支持全局取 $\min$ 维护. 总之复杂度就是 $\mathcal O(n\log n\log q)$.