Solution Set -「NOIP Simu.」20221113

$\mathscr{A}\sim$ 游戏

  Cover:「ARC 087E」Prefix-free Game.

  Tags:「A.博弈-SG 函数」「A.数据结构-Trie」

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  想了半天 ($\ge15~\text{min}$) 怎么表述一堆字符串的前缀关系, 尝试发明一个数据结构 ... 我这不是个 Trie 吗? 乐.

  建 Trie, 二人操作等价于在 Trie 上插入一个串, 并且要求串的末尾必须是新建的结点 (这样可能产生不合题意的前后缀关系, 但是此时 Alice Bob 在左右子树的选择是对称的, 可以忽略). 显然, 这些结点落在空子树内, 空子树间独立, 因此只需考察单个高度为 $h$ (设单点高度 $h=1$) 的空子树情况.

  打表发现, $\text{sg}(h)=2^{\text{low}(h)}$, 异或判全局 SG, $\mathcal O(\sum|S_i|)$ 结束. 归纳可证.

$\mathscr{B}\sim$ 翻转

  Cover:「CF 1630D」Flipping Range.

  Tag:「C.性质/结论」

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  这题不简单啊 ... 恐怕又是什么常见结论重新推了一遍, 导致做得不快.

  首先观察到, 若有长度为 $l_1,l_2~(l_1<l_2)$ 的翻转区间, 则一定能够获得长度为 $l_2-l_1$ 的翻转区间. 这是因为利用 $l_2\le\lceil n/2\rceil$ 的性质, 我们可以用一个 $l_1$ 和一个 $l_2$ 组合出任意位置开始的 $l_2-l_1$. 进一步, 这是更相减损, 因此我们的实际可翻转区间长度就是 $l=\gcd\{b_i\}$.

  但是, 这个区间翻转也很麻烦, 直接 DP 状态量也很庞大, 怎么办呢?

  我的赛上思路: 如果把翻转位置考虑作 $01$ 向量, 我们有 $n-l+1$ 个可用向量, 它们显然线性无关, 最终可能的符号序列对应于向量张成空间内的元素. 我们现在的问题是向量 "$1$ 太多", 翻转量大, 不好算. 那 ... 直接让相邻两个向量加一加? 得到 $n-l$ 个形如 $[0,\dots,0,1,0,\dots,0,1,0,\dots,0]$ (中间一段有 $l-1$ 个 $0$) 的向量. 空间少了一维? 最后补上 $[0,\dots,0,1,\dots,1]$ 就能得到一样的张成空间. 由于张成空间相同, 这两组向量对应的最优解是相同的. 我们暴力枚举 $[0\dots,0,1,\dots,1]$ 用或者不用, 其他 $n-l$ 个向量的影响对于下标$\bmod l$ 是独立的, 这就很好 DP 了.

  有点机械, 但确实很长. 不过$\bmod l$ 这个结论后来想着组合意义还是比较明显的. 可能直接一步到位会更快一点吧.

  总之, DP 一下就能 $\mathcal O(n)$ 求解了. 瓶颈竟然是求 $\gcd$ 的 $\log$.

$\mathscr{C}\sim$ 食尸鬼 *

  Cover:「牛客 11251F」小红的食尸鬼.

  Tags:「A.DP-动态 DP」「A.数据结构-线段树」

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  你要说我没做出来吧, 我很早就想到正解做法, 然后发现有 $30$ 多种情况的表要打就想别的结论去了 ...

  这题算个广义 DDP, 也就是以函数嵌套的形式构造有结合律的状态, 然后再用数据结构维护的 DDP. 注意到连续的亡语爆炸几乎就把随从炸平了, 因而 $\ge3$ 个的随从不会对爆炸状态产生影响. 对于每种输入类型, 一个区间需要维护出: 输出类型, 内部伤害, 存活随从数量, 对随从的伤害总数, 每种输入随从可额外造成的伤害一共 $1+1+3+1+3=9$ 个信息. 这还没完, 有 $11$ 种输入类型, 还需要对 S, H, A 分别写出转移信息组. 填写总共 $9\times11\times3=297$ 个常量后就能愉快 DDP 啦! 复杂度大常数 $\mathcal O(n+q\log n)$.

$\mathscr{D}\sim$ 计数 *

  Cover:「ARC 086F」Shift and Decrement.

  Tags:「C.思维」「C.性质/结论」

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  自从缩紧了“思维”这个 tag 的使用限制, 这样的死亡 tags 组合真的很少出现了. (

  一个 key observation 是在最后一次 $/2$ 之前的其他 $/2$ 不用下取整. 因此, 前面的 $/2$ 和 $-1$ 可以一起打包为 $-p=\sum p_i2^i$. 如果一个位置 $p_i>1$ 显然浪费了操作次数.

  也就是说, 在 $k$ 步以内, 假设总 $/2$ 次数 $w$ 已知, 我们可以:

• 选一个 $p<2^w$, 用 $\text{count}(p)+w-1$ 次操作令 $a_i\gets (a_i-p)/2^{w-1}$.
• 用 $1$ 次操作, 令 $a_i\gets\lfloor a_i/2\rfloor$.
• 用 $x$ 次操作, 令 $a_i\gets a_i-x$.

  直接枚举 $w$ 吧, 注意第二步的取整与 $a$ 的奇偶性有关. 设 $c_i=a_i\bmod{2^w}$, 这就和 $p$ 与 $c_i$ 的大小关系有关. 再枚举 $p$ 与所有 $c$ 的大小关系, 贪心地在大小关系不变的区间 $[l,r]$ 内选择一个 $\text{popcount}$ 最小的数 (这个可以 $\mathcal O(1)$ 算啊, 我看有老哥写个数位 DP). 现在前两步的操作次数及其结果全被枚举出来了, 剩下 $x$ 的范围自然也能求出来. 为了去重, 记录排序后的差分数组 $[a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots]$ 一定时可能的 $a_1$ 的区间集合, 对每种差分数组的区间求并再求长度和就是答案. 随便写写可以做到 $\mathcal O(n^2\log V\log n)$.