Solution Set -「Public NOIP Round #3 (Div. 1)」

$\mathscr{A}\sim$ 移除石子

  Tags:「A.构造」「C.细节」

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  "显然" 直接按 $(x,y)$ 二元组排序后两两组成正方形! 喜提 $90\text{pt}$.

  实际上. 还有一些多但是不复杂的情况讨论, 这里不提. 不过还是可以排一遍序 $\mathcal O(n\log n)$ 构造的.

$\mathscr{B}\sim$ 抓内鬼

  Tag:「A.构造」

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  先求出最短路 DAG. 我们其实并不需要去求最小割之类的东西, 因为我们能切掉的边已然是 $\mathcal O(n)$ 级别. 再结合部分分可以发现, 我们可以直接堵住 $1$ 的部分有效出边和 $n$ 的部分有效入边. 即, 用一种颜色染 $1$ 及其若干可以作为最短路转移边的边, 用另一种颜色染 $n$ 和此时仍然能作为最短路转移边的边. 可以证明, 除了样例 2 的情况必然有解. 复杂度为最短路的 $\mathcal O(m\log m)$.

$\mathscr{C}\sim$ 异或序列

  Tags:「A.DP-计数 DP」「C.性质/结论」

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  分析一下序列的性质, 发现若 $[x,y,z]$ 非法, 则 $y,z$ 最高 bit 相同, 高于 $x$ 的最高 bit, 且 $x$ 的最高 bit $\in z$. 因此令 $f(i)$ 表示结尾为 $i$ 的序列数量, 枚举 $z=1..n$, 用总方案减去非法 $x$ 的方案即可. 用桶村 $x$ 的最高 bit 贡献可以做到 $\mathcal O(n)$, 由于从 $z=1\to z=n$ 的 bit 变化次数和为 $\mathcal O(n)$, 所以也可以递推做到 $\mathcal O(n)$.

  有个 shaber 非要沿用初步讨论中的按最高 bit 转移, 写了个 FWT 优化 DP, 啊对, 确实是 $\mathcal O(n\log n)$, 你还不能说她 shaber. 但是她前面都写对了最后让所有点向后随便跳的时候转移错了, 换成了暴力都还没看出错, 这才是纯纯的 shaber.

$\mathscr{D}\sim$ 数圈圈

  Solution.